微分積分例

$\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + e^{x}$ とします。次に $d u = e^{x} d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + e^{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + e^{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{x}$

ステップ 1.1.4

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $1 + e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例