微分積分例

$3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}}$

ステップ 1

総和則では、 $3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.10

$2$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$3 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.12

共通因数を約分します。

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 3.13

式を書き換えます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{32}{x^{2}}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 4.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 4.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 4.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 4.7

$x$ を $1$ 乗します。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 4.9

$1$ から $4$ を引きます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 4.10

$- 2$ に $32$ をかけます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 x^{- 3}$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

項をまとめます。

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ステップ 6.1.1

$- 64$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 64}{x^{3}}$

ステップ 6.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{64}{x^{3}}$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$- \frac{64}{x^{3}} + 3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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