微分積分例

$\frac{e^{x}}{1 + x}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.2.1

$e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{x e^{x} + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$x e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例