微分積分例

$y = \frac{(x + 3) x}{x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = (x + 3) x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) x] - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = x + 3$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) ((x + 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 3]) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) ((x + 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 3]) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x \frac{d}{d x} [x + 3]) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x (1 + \frac{d}{d x} [3])) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x (1 + 0)) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x \cdot 1) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 3) x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (2 x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x + 3) + 1 (2 x + 3) - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 + 1 (2 x + 3) - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2.1.4

$2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 x + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 x + 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2.2

$3 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3 - (x \cdot x) - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3 - x^{2} - 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 3 - 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$5 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例