微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

ステップ 1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.1

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{t}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ を掛けます。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

ステップ 1.1.2

$- \frac{1}{t^{2} + t}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t}{t}$ を掛けます。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

ステップ 1.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $t (t^{2} + t)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{1}{t}$ に $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{1}{t^{2} + t}$ に $\frac{t}{t}$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{(t^{2} + t) t}$

ステップ 1.1.3.3

$(t^{2} + t) t$ の因数を並べ替えます。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{t (t^{2} + t)}$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t - t}{t (t^{2} + t)}$

ステップ 1.1.5

$t$ から $t$ を引きます。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + 0}{t (t^{2} + t)}$

ステップ 1.1.6

$t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t (t^{2} + t)}$

ステップ 1.2

$t^{2}$ と $t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

ステップ 2.1.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t}$

ステップ 2.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t}$

ステップ 2.1.3.3

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.3.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2} + lim_{t \to 0} t}$

ステップ 2.1.3.3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

ステップ 2.1.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.3.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 2.1.3.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $t^{2} + t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + 1}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

ステップ 3.2

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

ステップ 3.3

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + lim_{t \to 0} 1}$

ステップ 3.4

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1}$

ステップ 3.5

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + 1}$

ステップ 4

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{0 + 1}$

ステップ 5.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 5.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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