微分積分例

$\int_{1}^{2} x \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x} d x)$

ステップ 4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x}{1} d x)$

ステップ 4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

ステップ 6

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2$ および $1$ で $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

ステップ 6.2

$2$ および $1$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.2

$4$ を $\ln (2)$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$2$ を $4 \ln (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.3.2.4

$2 \ln (2)$ を $1$ で割ります。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.5

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.6

$2$ を $2$ 乗します。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.7

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.8

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.8.2.3

式を書き換えます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.8.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 6.3.9

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

ステップ 6.3.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})$

ステップ 6.3.11

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 6.3.12

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 6.3.13

公分母の分子をまとめます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 6.3.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.14.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2}$

ステップ 6.3.14.2

$4$ から $1$ を引きます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 6.3.15

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.16

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{4}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$2 \ln (2) - \frac{0}{2} - \frac{3}{4}$

ステップ 7.1.2

$0$ を $2$ で割ります。

$2 \ln (2) - 0 - \frac{3}{4}$

ステップ 7.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 \ln (2) + 0 - \frac{3}{4}$

ステップ 7.2

$2 \ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

10進法形式：

$0.63629436 \dots$

微分積分 例

微分積分例