微分積分例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ , $[- 3, 4]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 8 x$ です。

$4 x^{3} - 8 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 8 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 8 x = 0$

ステップ 1.2.2

$4 x$ を $4 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$4 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.6

最終解は $4 x (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 4 x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 {(0)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 \cdot 0$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = \sqrt{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.4.2.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.4.2.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

ステップ 1.4.2.2.1.3.5

指数を求めます。

$4 - 4 \cdot 2$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$4 - 8$

ステップ 1.4.2.2.2

$4$ から $8$ を引きます。

$- 4$

ステップ 1.4.3

$x = - \sqrt{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$- \sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.3

${\sqrt{2}}^{4}$ に $1$ をかけます。

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.4

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.6

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

ステップ 1.4.3.2.1.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

ステップ 1.4.3.2.1.8

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.9

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.3.2.1.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 1.4.3.2.1.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.4.3.2.1.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.9.4.1

共通因数を約分します。

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.4.3.2.1.9.4.2

式を書き換えます。

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

ステップ 1.4.3.2.1.9.5

指数を求めます。

$4 - 4 \cdot 2$

ステップ 1.4.3.2.1.10

$- 4$ に $2$ をかけます。

$4 - 8$

ステップ 1.4.3.2.2

$4$ から $8$ を引きます。

$- 4$

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$81 - 4 \cdot 9$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 4$ に $9$ をかけます。

$81 - 36$

ステップ 2.1.2.2

$81$ から $36$ を引きます。

$45$

ステップ 2.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$256 - 4 {(4)}^{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$256 - 4 \cdot 16$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 4$ に $16$ をかけます。

$256 - 64$

ステップ 2.2.2.2

$256$ から $64$ を引きます。

$192$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 3, 45), (4, 192)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(4, 192)$

最小値： $(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例