微分積分例

$\ln (1 + x)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x} \cdot 1$

ステップ 2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\frac{1}{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x + 1}$

微分積分 例