微分積分例

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ を ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ です。

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ および $g (x) = 4 x^{4} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{4} + 4$ とします。

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{4} + 4$ で置き換えます。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.6.2

$1$ から $4$ を引きます。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.8

$\frac{1}{4}$ と ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ をまとめます。

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ を分母に移動させます。

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.10

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.11

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.12

共通因数を約分します。

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ステップ 4.12.1

$4$ を $4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.12.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.13

総和則では、 $4 x^{4} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.14

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.15

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.16

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.17

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

ステップ 4.18

分数をまとめます。

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ステップ 4.18.1

$16 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

ステップ 4.18.2

$16$ と $\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ をまとめます。

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

ステップ 4.18.3

$16$ に $4$ をかけます。

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

ステップ 4.18.4

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

微分積分 例

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