微分積分例

$f (x) = 0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ , $[- 30, 4]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$0.8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.8 x^{3}$ の微分係数は $0.8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0.8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $0.8$ をかけます。

$2.4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2.4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2.4 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$2.4 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2.4 x^{2} - 8 x + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$2.4 x^{2} - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2.4 x^{2} - 8 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2.4 x^{2} - 8 x$ です。

$2.4 x^{2} - 8 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2.4 x^{2} - 8 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2.4 x^{2} - 8 x = 0$

ステップ 1.2.2

$0.8 x$ を $2.4 x^{2} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$0.8 x$ を $2.4 x^{2}$ で因数分解します。

$0.8 x (3 x) - 8 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$0.8 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$0.8 x (3 x) + 0.8 x (- 10) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$0.8 x$ を $0.8 x (3 x) + 0.8 x (- 10)$ で因数分解します。

$0.8 x (3 x - 10) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x - 10 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$3 x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$3 x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 10 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $3 x - 10 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $10$ を足します。

$3 x = 10$

ステップ 1.2.5.2.2

$3 x = 10$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$3 x = 10$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

ステップ 1.2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{10}{3}$

ステップ 1.2.6

最終解は $0.8 x (3 x - 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{10}{3}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$0.8 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 1$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0.8 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0.8$ に $0$ をかけます。

$0 - 4 {(0)}^{2} - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 \cdot 0 - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 1$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 1$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{10}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$\frac{10}{3}$ を $x$ に代入します。

$0.8 {(\frac{10}{3})}^{3} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

積の法則を $\frac{10}{3}$ に当てはめます。

$0.8 \frac{10^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$10$ を $3$ 乗します。

$0.8 \frac{1000}{3^{3}} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$0.8 (\frac{1000}{27}) - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$0.8 (\frac{1000}{27})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.4.1

$0.8$ と $\frac{1000}{27}$ をまとめます。

$\frac{0.8 \cdot 1000}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.4.2

$0.8$ に $1000$ をかけます。

$\frac{800}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$800$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.5.1

$800$ を $1 (800)$ に書き換えます。

$\frac{1 (800)}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.1

$27$ を $1 (27)$ に書き換えます。

$\frac{1 \cdot 800}{1 \cdot 27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 \cdot 800}{1 \cdot 27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{800}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.6

積の法則を $\frac{10}{3}$ に当てはめます。

$\frac{800}{27} - 4 \frac{10^{2}}{3^{2}} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.7

$10$ を $2$ 乗します。

$\frac{800}{27} - 4 \frac{100}{3^{2}} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.8

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{800}{27} - 4 (\frac{100}{9}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.9

$- 4 (\frac{100}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.9.1

$- 4$ と $\frac{100}{9}$ をまとめます。

$\frac{800}{27} + \frac{- 4 \cdot 100}{9} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.9.2

$- 4$ に $100$ をかけます。

$\frac{800}{27} + \frac{- 400}{9} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{800}{27} - \frac{400}{9} - 1$

ステップ 1.4.2.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$\frac{400}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{800}{27} - (\frac{400}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$\frac{400}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 1$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.4.2.2.2.4

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.2.5

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.2.6

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.2.7

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{800 - 400 \cdot 3 - 1 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.4.1

$- 400$ に $3$ をかけます。

$\frac{800 - 1200 - 1 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.4.2

$- 1$ に $27$ をかけます。

$\frac{800 - 1200 - 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.5.1

$800$ から $1200$ を引きます。

$\frac{- 400 - 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.5.2

$- 400$ から $27$ を引きます。

$\frac{- 427}{27}$

ステップ 1.4.2.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{427}{27}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 1), (\frac{10}{3}, - \frac{427}{27})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 30$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 30$ を $x$ に代入します。

$0.8 {(- 30)}^{3} - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 30$ を $3$ 乗します。

$0.8 \cdot - 27000 - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

ステップ 2.1.2.1.2

$0.8$ に $- 27000$ をかけます。

$- 21600 - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 30$ を $2$ 乗します。

$- 21600 - 4 \cdot 900 - 1$

ステップ 2.1.2.1.4

$- 4$ に $900$ をかけます。

$- 21600 - 3600 - 1$

ステップ 2.1.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 21600$ から $3600$ を引きます。

$- 25200 - 1$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 25200$ から $1$ を引きます。

$- 25201$

ステップ 2.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$0.8 {(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 1$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$0.8 \cdot 64 - 4 {(4)}^{2} - 1$

ステップ 2.2.2.1.2

$0.8$ に $64$ をかけます。

$51.2 - 4 {(4)}^{2} - 1$

ステップ 2.2.2.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$51.2 - 4 \cdot 16 - 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 4$ に $16$ をかけます。

$51.2 - 64 - 1$

ステップ 2.2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$51.2$ から $64$ を引きます。

$- 12.8 - 1$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 12.8$ から $1$ を引きます。

$- 13.8$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 30, - 25201), (4, - 13.8)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, - 1)$

最小値： $(- 30, - 25201)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例