微分積分例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ , $[- 3, 2]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 6 x$ です。

$3 x^{2} - 6 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

ステップ 1.2.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 6 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$3 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 2)$ で因数分解します。

$3 x (x - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $3 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 3 x^{2} - 1$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 1$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 3 {(0)}^{2} - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 3 \cdot 0 - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 1$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 1$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 3 {(2)}^{2} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 3 \cdot 4 - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$8 - 12 - 1$

ステップ 1.4.2.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.2.1

$8$ から $12$ を引きます。

$- 4 - 1$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 4$ から $1$ を引きます。

$- 5$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 1), (2, - 5)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 1$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 1$

ステップ 2.1.2.1.2

指数を足して $- 3$ に ${(- 3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.1.2.1

$- 3$ に ${(- 3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.1.2.1.2.1.1

$- 3$ を $1$ 乗します。

$- 27 + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 1$

ステップ 2.1.2.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 27 + {(- 3)}^{1 + 2} - 1$

ステップ 2.1.2.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 27 + {(- 3)}^{3} - 1$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 - 27 - 1$

ステップ 2.1.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 27$ から $27$ を引きます。

$- 54 - 1$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 54$ から $1$ を引きます。

$- 55$

ステップ 2.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 1$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 3 {(2)}^{2} - 1$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 3 \cdot 4 - 1$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$8 - 12 - 1$

ステップ 2.2.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$8$ から $12$ を引きます。

$- 4 - 1$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 4$ から $1$ を引きます。

$- 5$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 3, - 55), (2, - 5)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, - 1)$

最小値： $(- 3, - 55)$

ステップ 4

微分積分 例

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