微分積分例

\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

ステップ 1

u = 8 x

$u = 8 x$ とします。次に

d u = 8 d x

$d u = 8 d x$ すると、

\frac{1}{8} d u = d x

$\frac{1}{8} d u = d x$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

u = 8 x

$u = 8 x$ とします。

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

8 x

$8 x$ を微分します。

\frac{d}{d x} [8 x]

$\frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 1.1.2

8

$8$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

8 x

$8 x$ の微分係数は

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

8 \cdot 1

$8 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

8

$8$ に

1

$1$ をかけます。

8

$8$

8

$8$

ステップ 1.2

u = 8 x

$u = 8 x$ の

x

$x$ に下限値を代入します。

u_{lower} = 8 \cdot 0

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

ステップ 1.3

8

$8$ に

0

$0$ をかけます。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

u = 8 x

$u = 8 x$ の

x

$x$ に上限値を代入します。

u_{upper} = 8 \cdot 8

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

ステップ 1.5

8

$8$ に

8

$8$ をかけます。

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

ステップ 1.6

u_{lower}

$u_{lower}$ と

u_{upper}

$u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

ステップ 1.7

u

$u$ 、

d u

$d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ と

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ をまとめます。

\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

ステップ 3

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ は

u

$u$ に対して定数なので、

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ を

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ の

u

$u$ に関する積分は

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

ステップ 6

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

64

$64$ および

0

$0$ で

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

64

$64$ を

8^{2}

$8^{2}$ に書き換えます。

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.4

8

$8$ を

3

$3$ 乗します。

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.5

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ と

512

$512$ をまとめます。

\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.6

2

$2$ に

512

$512$ をかけます。

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7

0

$0$ を

0^{2}

$0^{2}$ に書き換えます。

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.8

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.2.9

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.9.1

共通因数を約分します。

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.2.9.2

式を書き換えます。

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 6.2.10

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

ステップ 6.2.11

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

ステップ 6.2.12

$0$ に

$\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

ステップ 6.2.13

$\frac{1024}{3}$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

ステップ 6.2.14

$\frac{1}{8}$ に

$\frac{1024}{3}$ をかけます。

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

ステップ 6.2.15

$8$ に

$3$ をかけます。

$\frac{1024}{24}$

ステップ 6.2.16

$1024$ と

$24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.16.1

$8$ を

$1024$ で因数分解します。

$\frac{8 (128)}{24}$

ステップ 6.2.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.16.2.1

$8$ を

$24$ で因数分解します。

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

ステップ 6.2.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

ステップ 6.2.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{128}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{128}{3}$

10進法形式：

$42.\overline{6}$

帯分数形：

$42 \frac{2}{3}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例