微分積分例

$\int \sqrt{x} \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = \sqrt{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln (x)$ と $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

ステップ 4.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{1}$ を分子に移動させます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

ステップ 4.3

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

ステップ 4.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

ステップ 4.3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

ステップ 4.3.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$\frac{2 \ln (x)}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{2}{3}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.5

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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