微分積分例

$- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

ステップ 1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$ です。

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 3.3

${(x^{2} + 5)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 5.2

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{2}$ で因数分解します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

$x^{2} + 5$ を $- 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ で因数分解します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 5.2.3

$x^{2} + 5$ を $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ で因数分解します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + 5$ を ${(x^{2} + 5)}^{4}$ で因数分解します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 7

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 11

$x$ を $1$ 乗します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 14

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 10 \frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 16

$- 10$ と $\frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.2

各項を簡約します。

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ステップ 18.2.1

$- 3$ に $10$ をかけます。

$- \frac{- 30 x^{2} + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.2.2

$10$ に $5$ をかけます。

$- \frac{- 30 x^{2} + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.3

$10$ を $- 30 x^{2} + 50$ で因数分解します。

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ステップ 18.3.1

$10$ を $- 30 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.3.2

$10$ を $50$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.3.3

$10$ を $10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.4

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.5

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 (- 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.6

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$- \frac{10 (- (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.7

$- (3 x^{2} - 5)$ を $- 1 (3 x^{2} - 5)$ に書き換えます。

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.8

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

ステップ 18.10

$\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

微分積分 例

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