微分積分例

$f (x) = x e^{- x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x + e^{- x}$

ステップ 1.4.2

$- e^{- x} x + e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$- x e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- x e^{- x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 2.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2.3

$- e^{- x}$ から $e^{- x}$ を引きます。

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.4

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 4.1.3.5

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

項を並べ替えます。

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

ステップ 4.1.4.2

$- e^{- x} x + e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- x e^{- x} + e^{- x}$ です。

$- x e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

ステップ 5.2

$e^{- x}$ を $- x e^{- x} + e^{- x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$e^{- x}$ を $- x e^{- x}$ で因数分解します。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

ステップ 5.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

ステップ 5.2.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

ステップ 5.4

$e^{- x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$e^{- x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- x} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

$e^{- x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

$- x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$- x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- x + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $- x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 5.5.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 5.6

最終解は $e^{- x} (- x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$e^{- (1)}$ に $1$ をかけます。

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

ステップ 9.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

ステップ 9.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

ステップ 9.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

ステップ 9.1.6

$- 2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

ステップ 9.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 2}{e}$

ステップ 9.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1}{e}$

ステップ 9.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{e}$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$e^{- (1)}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = e^{- (1)}$

ステップ 11.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = e^{- 1}$

ステップ 11.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (1) = \frac{1}{e}$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{e}$ です。

$y = \frac{1}{e}$

ステップ 12

$f (x) = x e^{- x}$ の極値です。

$(1, \frac{1}{e})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例