微分積分例

f (x) = x e^{- x}

$f (x) = x e^{- x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

f (x) = x

$f (x) = x$ および

g (x) = e^{- x}

$g (x) = e^{- x}$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = - x

$g (x) = - x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、

u

$u$ を

- x

$- x$ とします。

x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

u

$u$ のすべての発生を

- x

$- x$ で置き換えます。

x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

- 1

$- 1$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- x

$- x$ の微分係数は

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ です。

x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2

- 1

$- 1$ を

e^{- x}

$e^{- x}$ の左に移動させます。

x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ を

- e^{- x}

$- e^{- x}$ に書き換えます。

x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 1.3.5

e^{- x}

$e^{- x}$ に

1

$1$ をかけます。

x (- e^{- x}) + e^{- x}

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

x (- e^{- x}) + e^{- x}

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

- e^{- x} x + e^{- x}

$- e^{- x} x + e^{- x}$

ステップ 1.4.2

- e^{- x} x + e^{- x}

$- e^{- x} x + e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2

\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

- 1

$- 1$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- x e^{- x}

$- x e^{- x}$ の微分係数は

- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2

f (x) = x

$f (x) = x$ および

g (x) = e^{- x}

$g (x) = e^{- x}$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.3

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = - x

$g (x) = - x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、

u_{1}

$u_{1}$ を

- x

$- x$ とします。

f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.3.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は

a^{u_{1}} \ln (a)

$a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.3.3

u_{1}

$u_{1}$ のすべての発生を

- x

$- x$ で置き換えます。

f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.4

- 1

$- 1$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- x

$- x$ の微分係数は

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ です。

f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.5

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.6

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.7

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.8

- 1

$- 1$ を

e^{- x}

$e^{- x}$ の左に移動させます。

f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.9

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ を

- e^{- x}

$- e^{- x}$ に書き換えます。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.10

e^{- x}

$e^{- x}$ に

1

$1$ をかけます。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.3

\frac{d}{d x} [e^{- x}]

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = - x

$g (x) = - x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、

u_{2}

$u_{2}$ を

- x

$- x$ とします。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.3.1.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は

a^{u_{2}} \ln (a)

$a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.3.1.3

u_{2}

$u_{2}$ のすべての発生を

- x

$- x$ で置き換えます。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.3.2

- 1

$- 1$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- x

$- x$ の微分係数は

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ です。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 2.3.3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.3.4

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 2.3.5

- 1

$- 1$ を

e^{- x}

$e^{- x}$ の左に移動させます。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 2.3.6

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ を

- e^{- x}

$- e^{- x}$ に書き換えます。

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2.2

x

$x$ に

1

$1$ をかけます。

f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2.3

- e^{- x}

$- e^{- x}$ から

e^{- x}

$e^{- x}$ を引きます。

f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.4

e^{- x} x - 2 e^{- x}

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 3

微分係数を

0

$0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

- x e^{- x} + e^{- x} = 0

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

f (x) = x

$f (x) = x$ および

g (x) = e^{- x}

$g (x) = e^{- x}$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = - x

$g (x) = - x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、

u

$u$ を

- x

$- x$ とします。

f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2.3

u

$u$ のすべての発生を

- x

$- x$ で置き換えます。

f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

- 1

$- 1$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- x

$- x$ の微分係数は

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ です。

f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.3.2

- 1

$- 1$ を

e^{- x}

$e^{- x}$ の左に移動させます。

f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.3.3

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ を

- e^{- x}

$- e^{- x}$ に書き換えます。

f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.4

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 4.1.3.5

e^{- x}

$e^{- x}$ に

1

$1$ をかけます。

f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

項を並べ替えます。

f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

ステップ 4.1.4.2

- e^{- x} x + e^{- x}

$- e^{- x} x + e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 4.2

x

$x$ に関する

f (x)

$f (x)$ の一次導関数は

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$ です。

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 5

一次導関数を

0

$0$ と等しくし、次に方程式

- x e^{- x} + e^{- x} = 0

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を

0

$0$ に等しくします。

- x e^{- x} + e^{- x} = 0

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

ステップ 5.2

e^{- x}

$e^{- x}$ を

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

e^{- x}

$e^{- x}$ を

- x e^{- x}

$- x e^{- x}$ で因数分解します。

e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

ステップ 5.2.2

1

$1$ を掛けます。

e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

ステップ 5.2.3

e^{- x}

$e^{- x}$ を

e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ で因数分解します。

e^{- x} (- x + 1) = 0

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

e^{- x} (- x + 1) = 0

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

e^{- x} = 0

$e^{- x} = 0$

- x + 1 = 0

$- x + 1 = 0$

ステップ 5.4

e^{- x}

$e^{- x}$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

e^{- x}

$e^{- x}$ が

0

$0$ に等しいとします。

e^{- x} = 0

$e^{- x} = 0$

ステップ 5.4.2

x

$x$ について

e^{- x} = 0

$e^{- x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

\ln (e^{- x}) = \ln (0)

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

\ln (0)

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

e^{- x} = 0

$e^{- x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

- x + 1

$- x + 1$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

- x + 1

$- x + 1$ が

0

$0$ に等しいとします。

- x + 1 = 0

$- x + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

x

$x$ について

- x + 1 = 0

$- x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から

1

$1$ を引きます。

- x = - 1

$- x = - 1$

ステップ 5.5.2.2

- x = - 1

$- x = - 1$ の各項を

- 1

$- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

- x = - 1

$- x = - 1$ の各項を

- 1

$- 1$ で割ります。

\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2.2

x

$x$ を

1

$1$ で割ります。

x = \frac{- 1}{- 1}

$x = \frac{- 1}{- 1}$

x = \frac{- 1}{- 1}

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.3.1

- 1

$- 1$ を

- 1

$- 1$ で割ります。

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

ステップ 5.6

最終解は

e^{- x} (- x + 1) = 0

$e^{- x} (- x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

x = 1

$x = 1$

ステップ 8

x = 1

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

e^{- (1)}

$e^{- (1)}$ に

1

$1$ をかけます。

e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

ステップ 9.1.2

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

e^{- 1} - 2 e^{- (1)}

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

ステップ 9.1.3

負の指数法則

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

ステップ 9.1.4

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

ステップ 9.1.5

負の指数法則

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

ステップ 9.1.6

- 2

$- 2$ と

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ をまとめます。

\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

ステップ 9.1.7

分数の前に負数を移動させます。

\frac{1}{e} - \frac{2}{e}

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

\frac{1}{e} - \frac{2}{e}

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

公分母の分子をまとめます。

\frac{1 - 2}{e}

$\frac{1 - 2}{e}$

ステップ 9.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

1

$1$ から

2

$2$ を引きます。

\frac{- 1}{e}

$\frac{- 1}{e}$

ステップ 9.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

- \frac{1}{e}

$- \frac{1}{e}$

- \frac{1}{e}

$- \frac{1}{e}$

- \frac{1}{e}

$- \frac{1}{e}$

- \frac{1}{e}

$- \frac{1}{e}$

ステップ 10

x = 1

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

x = 1

$x = 1$ は極大値です

ステップ 11

x = 1

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数

x

$x$ を

1

$1$ で置換えます。

f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

e^{- (1)}

$e^{- (1)}$ に

1

$1$ をかけます。

f (1) = e^{- (1)}

$f (1) = e^{- (1)}$

ステップ 11.2.2

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

f (1) = e^{- 1}

$f (1) = e^{- 1}$

ステップ 11.2.3

負の指数法則

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

f (1) = \frac{1}{e}

$f (1) = \frac{1}{e}$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ です。

y = \frac{1}{e}

$y = \frac{1}{e}$

y = \frac{1}{e}

$y = \frac{1}{e}$

y = \frac{1}{e}

$y = \frac{1}{e}$

ステップ 12

f (x) = x e^{- x}

$f (x) = x e^{- x}$ の極値です。

(1, \frac{1}{e})

$(1, \frac{1}{e})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例