微分積分例

$\int 8 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$8 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$8 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.4

$\frac{x^{3}}{3}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

ステップ 3.5

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x))$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$

ステップ 6.2

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$ を $8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$ に書き換えます。

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$8 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) + C$

微分積分 例

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