微分積分例

\int x^{3} ln (x) d x

$\int x^{3} \ln (x) d x$

ステップ 1

u = ln (x)

$u = \ln (x)$ と

d v = x^{3}

$d v = x^{3}$ ならば、公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ と

x^{4}

$x^{4}$ をまとめます。

ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

ln (x)

$\ln (x)$ と

\frac{x^{4}}{4}

$\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ は

x

$x$ に対して定数なので、

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

x^{4}

$x^{4}$ と

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ をまとめます。

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

ステップ 4.2

x^{4}

$x^{4}$ と

x

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

x

$x$ を

x^{4}

$x^{4}$ で因数分解します。

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

x

$x$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

ステップ 4.2.2.2

x

$x$ を

x^{1}

$x^{1}$ で因数分解します。

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

ステップ 4.2.2.5

$x^{3}$ を

$1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

ステップ 5

べき乗則では、

$x^{3}$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{1}{4}$ と

$\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 6.2.2

$\frac{\ln (x)}{4}$ と

$x^{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{4}$ に

$\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

ステップ 6.2.4

$4$ に

$4$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

微分積分 例

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