微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{x - 6}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 8$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 1.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x - 6}{(x - 4) (x - 2)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 4}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 4) (x - 2)$ です。

$\frac{(x - 6) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.5

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 6) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.6

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.6.2

$x - 6$ を $1$ で割ります。

$x - 6 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$x - 6 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$x - 6 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$x - 6 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.3

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$x - 6 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.4

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$x - 6 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.4.2

$(B) (x - 4)$ を $1$ で割ります。

$x - 6 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$x - 6 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

ステップ 1.1.7.6

$- 4$ を $B$ の左に移動させます。

$x - 6 = A x - 2 A + B x - 4 B$

ステップ 1.1.8

$- 2 A$ を移動させます。

$x - 6 = A x + B x - 2 A - 4 B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 6 = - 2 A - 4 B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$- 6 = - 2 A - 4 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$- 6 = - 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$- 2 (1 - B) - 4 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 6 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 6 = - 2 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 6 = - 2 + 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 + 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$2 B$ から $4 B$ を引きます。

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3

$- 6 = - 2 - 2 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $- 2 - 2 B = - 6$ として書き換えます。

$- 2 - 2 B = - 6$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- 2 B = - 6 + 2$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.2.2

$- 6$ と $2$ をたし算します。

$- 2 B = - 4$

$A = 1 - B$

$- 2 B = - 4$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3

$- 2 B = - 4$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1

$- 2 B = - 4$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.1

$- 4$ を $- 2$ で割ります。

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$A = 1 - (2)$

$B = 2$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$1 - (2)$ を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$A = 1 - 2$

$B = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = - 1, B = 2$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- 1}{x - 4} + \frac{2}{x - 2}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 4} + \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 4} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 4} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 4

$u_{1} = x - 4$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = x - 4$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{1} = x - 4$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 4$

ステップ 4.3

$0$ から $4$ を引きます。

$u_{lower} = - 4$

ステップ 4.4

$u_{1} = x - 4$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 4$

ステップ 4.5

$1$ から $4$ を引きます。

$u_{upper} = - 3$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 3$

ステップ 4.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \int_{- 4}^{- 3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x$

ステップ 7

$u_{2} = x - 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 7.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u_{2} = x - 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 2$

ステップ 7.3

$0$ から $2$ を引きます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 7.4

$u_{2} = x - 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 2$

ステップ 7.5

$1$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 7.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$- 3$ および $- 4$ で $\ln (| u_{1} |)$ の値を求めます。

$- ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 4 |)) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

ステップ 9.2

$- 1$ および $- 2$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$- ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 4 |)) + 2 ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 9.3

括弧を削除します。

$- (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 10.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 3$ と $0$ の間の距離は $3$ です。

$- \ln (\frac{3}{| - 4 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

ステップ 11.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 4$ と $0$ の間の距離は $4$ です。

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

ステップ 11.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{| - 2 |})$

ステップ 11.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 2$ と $0$ の間の距離は $2$ です。

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

10進法形式：

$- 1.09861228 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例