微分積分例

$\int x \sin (3 x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (3 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (3 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\cos (3 x)}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

ステップ 4

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x$

ステップ 5

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

ステップ 8

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ステップ 8.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u) d u$

ステップ 8.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u$

ステップ 9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)$

ステップ 10

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ステップ 10.1

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)$ を $- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

ステップ 10.2

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ステップ 10.2.1

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

ステップ 10.2.2

$\cos (3 x)$ と $\frac{x}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

ステップ 12

$\frac{\cos (3 x) x}{3}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

微分積分 例

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