微分積分例

\int x \sin (3 x) d x

$\int x \sin (3 x) d x$

ステップ 1

u = x

$u = x$ と

d v = \sin (3 x)

$d v = \sin (3 x)$ ならば、公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

x (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x

$x (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

\cos (3 x)

$\cos (3 x)$ と

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をまとめます。

x (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x

$x (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

ステップ 2.2

x

$x$ と

\frac{\cos (3 x)}{3}

$\frac{\cos (3 x)}{3}$ をまとめます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

ステップ 3

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ は

x

$x$ に対して定数なので、

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

ステップ 4.2

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ に

1

$1$ をかけます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x$

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x$

ステップ 5

u = 3 x

$u = 3 x$ とします。次に

d u = 3 d x

$d u = 3 d x$ すると、

\frac{1}{3} d u = d x

$\frac{1}{3} d u = d x$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

u = 3 x

$u = 3 x$ とします。

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

3 x

$3 x$ を微分します。

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.1.2

3

$3$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

3 x

$3 x$ の微分係数は

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

3

$3$ に

1

$1$ をかけます。

3

$3$

3

$3$

ステップ 5.2

u

$u$ と

d u

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 6

\cos (u)

$\cos (u)$ と

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をまとめます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u)}{3} d u

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

ステップ 7

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ は

u

$u$ に対して定数なので、

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ に

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をかけます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u) d u

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u) d u$

ステップ 8.2

3

$3$ に

3

$3$ をかけます。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u$

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u$

ステップ 9

\cos (u)

$\cos (u)$ の

u

$u$ に関する積分は

\sin (u)

$\sin (u)$ です。

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)$ を

- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$ に書き換えます。

- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

x

$x$ と

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をまとめます。

- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C

$- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

ステップ 10.2.2

\cos (3 x)

$\cos (3 x)$ と

\frac{x}{3}

$\frac{x}{3}$ をまとめます。

- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

ステップ 11

u

$u$ のすべての発生を

3 x

$3 x$ で置き換えます。

- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

ステップ 12

\frac{\cos (3 x) x}{3}

$\frac{\cos (3 x) x}{3}$ の因数を並べ替えます。

- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

微分積分 例

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