微分積分例

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ です。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

ステップ 3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $6 x y$ を引きます。

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

ステップ 5.2

$3 y'$ を $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$3 y'$ を $3 x^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

ステップ 5.2.2

$3 y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

ステップ 5.2.3

$3 y'$ を $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ で因数分解します。

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

ステップ 5.3

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ の各項を $3 (x^{2} + y^{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ の各項を $3 (x^{2} + y^{2})$ で割ります。

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2

$x^{2} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.3

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.3.1

$3$ を $- 6 x y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$x$ を $- x^{2} - 2 x y$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.2.2.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

$x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.2.3

$x$ を $x (- x) + x (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.4

$- 1$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.5

$- 1$ を $- (x) - (2 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.6.1

$- (x + 2 y)$ を $- 1 (x + 2 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

微分積分 例

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