微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{2} - 12 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$6 x - 12 + 0$

ステップ 1.4.2

$6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$6 x - 12$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $6 x - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 + 0$

ステップ 2.3.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x - 12 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 x^{2} - 12 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 4.1.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$6 x - 12 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x - 12$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x - 12$ です。

$6 x - 12$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 12 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$6 x = 12$

ステップ 5.3

$6 x = 12$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$6 x = 12$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{12}{6}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$12$ を $6$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 2$

ステップ 8

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6$

ステップ 9

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 10

$x = 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 10.2.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 12 - 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 10.2.1.3

$- 12$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 12 - 24 - 8$

ステップ 10.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$12$ から $24$ を引きます。

$f (2) = - 12 - 8$

ステップ 10.2.2.2

$- 12$ から $8$ を引きます。

$f (2) = - 20$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $- 20$ です。

$y = - 20$

ステップ 11

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ の極値です。

$(2, - 20)$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

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