微分積分例

$\frac{1}{2} x^{2} \sqrt{16 - x^{2}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}]$

ステップ 1.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ と $\sqrt{16 - x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

ステップ 1.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{16 - x^{2}}$ を ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 16 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $16 - x^{2}$ とします。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $16 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 9

総和則では、 $16 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 10

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 14

分数をまとめます。

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ステップ 14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 14.2

$- 2$ と $\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 14.3

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 15

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 17

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 18

$2$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 19

共通因数を約分します。

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ステップ 19.1

$2$ を $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 19.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 19.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 20

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 21

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

ステップ 22

並べ替えます。

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ステップ 22.1

$2$ を ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

ステップ 22.2

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 23

$2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 25

指数を足して ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 25.1

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 25.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 25.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 25.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 25.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 26

$2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 27

$\frac{1}{2}$ に $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28

簡約します。

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ステップ 28.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2

分子を簡約します。

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ステップ 28.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 28.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 28.2.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2.1.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 28.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2.1.4

$16$ に $2$ をかけます。

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2.2

$- x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 3 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.3

$x$ を $- 3 x^{3} + 32 x$ で因数分解します。

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ステップ 28.3.1

$x$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.3.2

$x$ を $32 x$ で因数分解します。

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.3.3

$x$ を $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32$ で因数分解します。

$\frac{x (- 3 x^{2} + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.4

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.5

$32$ を $- 1 (- 32)$ に書き換えます。

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.6

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- 32)$ で因数分解します。

$\frac{x (- (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.7

$- (3 x^{2} - 32)$ を $- 1 (3 x^{2} - 32)$ に書き換えます。

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例