微分積分例

$\int \tan^{3} (x) d x$

ステップ 1

$\tan^{2} (x)$ を因数分解します。

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$\int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 6

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 7

$u = \sec (x)$ とします。次に $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 7.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

ステップ 9

簡約します。

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

微分積分 例