微分積分例

${(x + x^{- 1})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + x^{- 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + x^{- 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x + x^{- 1}$ で置き換えます。

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x + x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 - x^{- 2})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - x^{- 2})$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.3

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ を $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ に書き換えます。

$3 ((x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ を展開します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$3 (x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3

分配則を当てはめます。

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.2.2

式を書き換えます。

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1.3.1

共通因数を約分します。

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.3.2

式を書き換えます。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.4

$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.4.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} + 3 \cdot 2 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

$3$ に $2$ をかけます。

$(3 x^{2} + 6 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.7.2

$3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.8

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ を展開します。

$3 x^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9

各項を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$3$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.2.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 x^{2} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.2.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.2.3

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.2.4

式を書き換えます。

$3 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.4

$6$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 + 6 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.5

$6 (- \frac{1}{x^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 3.9.5.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 + 6 - 6 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.5.2

$- 6$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.6

分数の前に負数を移動させます。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.7

$\frac{3}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.9.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3.9.9

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.9.9.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{3}{x^{2}}$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2} x^{2}}$

ステップ 3.9.9.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.9.9.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2 + 2}}$

ステップ 3.9.9.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

ステップ 3.10

公分母の分子をまとめます。

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6 + 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

ステップ 3.11

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

ステップ 3.12

各項を簡約します。

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ステップ 3.12.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

ステップ 3.12.2

分数の前に負数を移動させます。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

ステップ 3.13

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$3 x^{2} + 3 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

微分積分 例

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