微分積分例

$\int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{5 \sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 3

$u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ とします。次に $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{\frac{1}{2}} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

ステップ 3.1.5

簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 3.1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 3.1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 3.1.5.2.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{5} \int 2 u^{2} d u$

ステップ 4

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (2 \int u^{2} d u)$

ステップ 5

$2$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} \int u^{2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ に書き換えます。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{2}{5}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{3} + C$

ステップ 7.2.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{15} u^{3} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}} + 2$ で置き換えます。

$\frac{2}{15} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{3} + C$

微分積分 例

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