微分積分例

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{3}{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 7.2

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7.3

掛け算します。

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ステップ 7.3.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7.4

共通因数を約分します。

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7.5

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 8

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

ステップ 11.2

$2$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$

ステップ 11.3

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

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