微分積分例

lim x \to 0 \frac{tan (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

\frac{lim x \to 0 tan (x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

\frac{tan (lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

x

$x$ を

0

$0$ に代入し、

x

$x$ の極限値を求めます。

\frac{tan (0)}{lim x \to 0 x}

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

tan (0)

$\tan (0)$ の厳密値は

0

$0$ です。

\frac{0}{lim x \to 0 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim x \to 0 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

x

$x$ を

0

$0$ に代入し、

x

$x$ の極限値を求めます。

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

0

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

lim x \to 0 \frac{tan (x)}{x} = lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する

$\tan (x)$ の微分係数は

$\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

ステップ 1.4

$\sec^{2} (x)$ を

$1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

極限べき乗則を利用して、指数

$2$ を

$\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

ステップ 2.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 3

$x$ を

$0$ に代入し、

$x$ の極限値を求めます。

$\sec^{2} (0)$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sec (0)$ の厳密値は

$1$ です。

$1^{2}$

ステップ 4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1$

微分積分 例

微分積分例