微分積分例

x^{2} + y^{2} = 25

$x^{2} + y^{2} = 25$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、

x^{2} + y^{2}

$x^{2} + y^{2}$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.1.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2

\frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ および

g (x) = y

$g (x) = y$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、

$u$ を

$y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 2$ のとき、

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は

$n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を

$y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を

$y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y'$

ステップ 2.3

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x$

ステップ 3

$25$ は

$x$ について定数なので、

$x$ について

$25$ の微分係数は

$0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から

$2 x$ を引きます。

$2 y y' = - 2 x$

ステップ 5.2

$2 y y' = - 2 x$ の各項を

$2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 y y' = - 2 x$ の各項を

$2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を

$1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 2$ と

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を

$- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$2$ を

$2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{y}$

ステップ 5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{y}$

ステップ 6

$y'$ を

$\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

微分積分 例

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