微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{1}{x^{4}}$ とします。次に $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ すると、 $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{1}{x^{4}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x^{4}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 1.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.1.3

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{- 5}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{x^{5}}$

ステップ 1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x^{5}}$

ステップ 1.2

$u = \frac{1}{x^{4}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

ステップ 1.3.2

$1$ を $1$ で割ります。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \frac{1}{x^{4}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

ステップ 1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

ステップ 2

$- \frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

ステップ 3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{16}$ および $1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

ステップ 4.2

簡約します。

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)$

ステップ 5.2

$e^{\frac{1}{16}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)$

ステップ 5.3

$- \frac{1}{4} (- e)$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e$

ステップ 5.3.3

$\frac{1}{4}$ と $e$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

10進法形式：

$0.41344684 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例