微分積分例

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{- x} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 1$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

ステップ 2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

ステップ 3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

ステップ 4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

ステップ 7.2

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

ステップ 8

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 8.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 8.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 8.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 8.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

ステップ 8.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ および $0$ で $(x^{2} + 1) (- e^{- x})$ の値を求めます。

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

ステップ 11.2

$1$ および $0$ で $x (- e^{- x})$ の値を求めます。

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

ステップ 11.3

$- 1$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4

簡約します。

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ステップ 11.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$(1 + 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 2 e^{- 1} - (0 + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 2 e^{- 1} - 1 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.14

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.15

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.17

$0$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.18

$- e^{- 1}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

ステップ 11.4.19

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

ステップ 11.4.20

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

ステップ 12.1.2

$- 2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

ステップ 12.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

ステップ 12.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

ステップ 12.1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

ステップ 12.1.4.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

ステップ 12.1.4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

ステップ 12.1.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

ステップ 12.1.6

$- 1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

ステップ 12.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

ステップ 12.1.8

分配則を当てはめます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

ステップ 12.1.9

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

ステップ 12.1.10

$2 (- \frac{2}{e})$ を掛けます。

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ステップ 12.1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

ステップ 12.1.10.2

$- 2$ と $\frac{2}{e}$ をまとめます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

ステップ 12.1.10.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 4}{e}$

ステップ 12.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - \frac{4}{e}$

ステップ 12.2

公分母の分子をまとめます。

$1 + 2 + \frac{- 2 - 4}{e}$

ステップ 12.3

$- 2$ から $4$ を引きます。

$1 + 2 + \frac{- 6}{e}$

ステップ 12.4

分数の前に負数を移動させます。

$1 + 2 - \frac{6}{e}$

ステップ 12.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 - \frac{6}{e}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$3 - \frac{6}{e}$

10進法形式：

$0.79272335 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例