微分積分例

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値をとります。

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

分子の極限値を求めます。

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正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

x

$x$ を

0

$0$ に代入し、

x

$x$ の極限値を求めます。

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

\sin (0)

$\sin (0)$ の厳密値は

0

$0$ です。

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

x

$x$ を

0

$0$ に代入し、

x

$x$ の極限値を求めます。

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

0

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

x

$x$ に関する

\sin (x)

$\sin (x)$ の微分係数は

\cos (x)

$\cos (x)$ です。

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

極限を求めます。

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\cos (x)

$\cos (x)$ を

1

$1$ で割ります。

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

x

$x$ を

0

$0$ に代入し、

x

$x$ の極限値を求めます。

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

\cos (0)

$\cos (0)$ の厳密値は

1

$1$ です。

1

$1$

微分積分 例

微分積分例