微分積分例

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

ステップ 1.2.4

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

ステップ 1.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

ステップ 1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

ステップ 1.2.7

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

ステップ 1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

ステップ 1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

ステップ 1.2.7.2.4

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 3 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 3 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 3 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 3$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

ステップ 4.1.2.4

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

ステップ 4.1.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

ステップ 4.1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

ステップ 4.1.2.7

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

ステップ 4.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

ステップ 4.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

ステップ 4.1.2.7.2.4

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 3 x$ です。

$3 x^{2} - 3 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 3 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 5.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 3 x = 0$

ステップ 5.2.2

$3 x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

ステップ 5.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 1)$ で因数分解します。

$3 x (x - 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.6

最終解は $3 x (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 1$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (0) - 3$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$6$ に $0$ をかけます。

$0 - 3$

ステップ 9.2

$0$ から $3$ を引きます。

$- 3$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

ステップ 11.2.1.3

$- \frac{3}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 (\frac{3}{2})$

ステップ 11.2.1.3.2

$0$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 11.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (1) - 3$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$6$ に $1$ をかけます。

$6 - 3$

ステップ 13.2

$6$ から $3$ を引きます。

$3$

ステップ 14

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 15

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

ステップ 15.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 15.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - \frac{3}{2}$

ステップ 15.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 15.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{2 - 3}{2}$

ステップ 15.2.2.3

$2$ から $3$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 15.2.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (1) = - \frac{1}{2}$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{2}$ です。

$y = - \frac{1}{2}$

ステップ 16

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(1, - \frac{1}{2})$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例