微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - x^{6}$ , $[- 1, 2]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{6}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$12 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} - (6 x^{5})$

ステップ 1.1.1.3.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$12 x^{3} - 6 x^{5}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 6 x^{5} + 12 x^{3}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 6 x^{5} + 12 x^{3}$ です。

$- 6 x^{5} + 12 x^{3}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 x^{5} + 12 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 x^{5} + 12 x^{3} = 0$

ステップ 1.2.2

$- 6 x^{3}$ を $- 6 x^{5} + 12 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 6 x^{3}$ を $- 6 x^{5}$ で因数分解します。

$- 6 x^{3} x^{2} + 12 x^{3} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- 6 x^{3}$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$- 6 x^{3} x^{2} - 6 x^{3} \cdot - 2 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$- 6 x^{3}$ を $- 6 x^{3} (x^{2}) - 6 x^{3} (- 2)$ で因数分解します。

$- 6 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.6

最終解は $- 6 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{4} - x^{6}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{4} - {(0)}^{6}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - {(0)}^{6}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - {(0)}^{6}$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 0$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = \sqrt{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$\sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

$3 {(\sqrt{2})}^{4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$3 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$3 \cdot 2^{2} - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 4 - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 - {(\sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.4

${\sqrt{2}}^{6}$ を $2^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{6}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$12 - 2^{\frac{6}{2}}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.4.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$12 - 2^{\frac{3}{1}}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$12 - 2^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$12 - 1 \cdot 8$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$- 1$ に $8$ をかけます。

$12 - 8$

ステップ 1.4.2.2.2

$12$ から $8$ を引きます。

$4$

ステップ 1.4.3

$x = - \sqrt{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- \sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

$3 {(- \sqrt{2})}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$3 (1 {\sqrt{2}}^{4}) - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.3

${\sqrt{2}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$3 {\sqrt{2}}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.4

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$3 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.4.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$3 \cdot 2^{2} - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 4 - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.6

$3$ に $4$ をかけます。

$12 - {(- \sqrt{2})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.7

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$12 - ({(- 1)}^{6} {\sqrt{2}}^{6})$

ステップ 1.4.3.2.1.8

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.8.1

${(- 1)}^{6}$ を移動させます。

$12 + {(- 1)}^{6} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.8.2

${(- 1)}^{6}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.8.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$12 + {(- 1)}^{6} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 + {(- 1)}^{6 + 1} {\sqrt{2}}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.8.3

$6$ と $1$ をたし算します。

$12 + {(- 1)}^{7} {\sqrt{2}}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.9

$- 1$ を $7$ 乗します。

$12 - {\sqrt{2}}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.10

${\sqrt{2}}^{6}$ を $2^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{6}$

ステップ 1.4.3.2.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

ステップ 1.4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$12 - 2^{\frac{6}{2}}$

ステップ 1.4.3.2.1.10.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.10.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

ステップ 1.4.3.2.1.10.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.10.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

ステップ 1.4.3.2.1.10.4.2.2

共通因数を約分します。

$12 - 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

ステップ 1.4.3.2.1.10.4.2.3

式を書き換えます。

$12 - 2^{\frac{3}{1}}$

ステップ 1.4.3.2.1.10.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$12 - 2^{3}$

ステップ 1.4.3.2.1.11

$2$ を $3$ 乗します。

$12 - 1 \cdot 8$

ステップ 1.4.3.2.1.12

$- 1$ に $8$ をかけます。

$12 - 8$

ステップ 1.4.3.2.2

$12$ から $8$ を引きます。

$4$

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\sqrt{2}, 4), (- \sqrt{2}, 4)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, 0), (\sqrt{2}, 4)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$3 {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{6}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 1 - {(- 1)}^{6}$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - {(- 1)}^{6}$

ステップ 3.1.2.1.3

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.3.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{6}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.3.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$3 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{6}$

ステップ 3.1.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 + {(- 1)}^{1 + 6}$

ステップ 3.1.2.1.3.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$3 + {(- 1)}^{7}$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 1$ を $7$ 乗します。

$3 - 1$

ステップ 3.1.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$2$

ステップ 3.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$3 {(2)}^{4} - {(2)}^{6}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 16 - {(2)}^{6}$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$48 - {(2)}^{6}$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ を $6$ 乗します。

$48 - 1 \cdot 64$

ステップ 3.2.2.1.4

$- 1$ に $64$ をかけます。

$48 - 64$

ステップ 3.2.2.2

$48$ から $64$ を引きます。

$- 16$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 2), (2, - 16)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\sqrt{2}, 4)$

最小値： $(2, - 16)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例