微分積分例

f (x) = x^{\frac{2}{3}}

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ;

[- 27, 27]

$[- 27, 27]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

n = \frac{2}{3}

$n = \frac{2}{3}$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

ステップ 1.1.1.2

- 1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 1.1.1.3

- 1

$- 1$ と

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ をまとめます。

\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 1.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 1.1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.5.1

- 1

$- 1$ に

3

$3$ をかけます。

\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

ステップ 1.1.1.5.2

2

$2$ から

3

$3$ を引きます。

\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

ステップ 1.1.1.6

分数の前に負数を移動させます。

\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 1.1.1.7

簡約します。

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ステップ 1.1.1.7.1

負の指数法則

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.1.7.2

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ に

\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する

$f (x)$ の一次導関数は

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

一次導関数を

$0$ と等しくし、次に方程式

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を

$0$ に等しくします。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 1.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.3.1.1

法則

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

ステップ 1.3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ の分母を

$0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt[3]{x}$ を

$x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

積の法則を

$3 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$3$ を

$3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{1} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 x = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$27 x = 0$

ステップ 1.3.3.3

$27 x = 0$ の各項を

$27$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1

$27 x = 0$ の各項を

$27$ で割ります。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.1

$0$ を

$27$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が

$0$ または未定義のとき、各

$x$ における

$x^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を

$x$ に代入します。

${(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を

$0^{3}$ に書き換えます。

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 1.4.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

式を書き換えます。

$0^{2}$

ステップ 1.4.1.2.3

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$0$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 27$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 27$ を

$x$ に代入します。

${(- 27)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 27$ を

${(- 3)}^{3}$ に書き換えます。

${({(- 3)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 3)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 2.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

${(- 3)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 2.1.2.2.2

式を書き換えます。

${(- 3)}^{2}$

ステップ 2.1.2.3

$- 3$ を

$2$ 乗します。

$9$

ステップ 2.2

$x = 27$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$27$ を

$x$ に代入します。

${(27)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$27$ を

$3^{3}$ に書き換えます。

${(3^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 2.2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$3^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 2.2.2.2.2

式を書き換えます。

$3^{2}$

ステップ 2.2.2.3

$3$ を

$2$ 乗します。

$9$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 27, 9), (27, 9)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた

$f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い

$f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い

$f (x)$ の値で発生します。

最大値：

$(- 27, 9), (27, 9)$

最小値：

$(0, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例