微分積分例

$g (t) = \frac{t}{t - 8}$ on $10$ , $12$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (t) = t$ および $g (t) = t - 8$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t - 8) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$t - 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{t - 8 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $t - 8$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ です。

$\frac{t - 8 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t - 8 - t (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 8$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t - 8 - t (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t - 8 - t \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{t - 8 - t}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.3

$t$ から $t$ を引きます。

$\frac{0 - 8}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.4.1

$0$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 8}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (t) = - \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$t$ に関する $g (t)$ の一次導関数は $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ です。

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$8 = 0$

ステップ 1.2.3

$8 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(t - 8)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$t$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

$t - 8$ が $0$ に等しいとします。

$t - 8 = 0$

ステップ 1.3.2.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$t = 8$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $\frac{t}{t - 8}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$t = 8$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$8$ を $t$ に代入します。

$\frac{8}{(8) - 8}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{8}{0}$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $t$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$t = 10$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$10$ を $t$ に代入します。

$\frac{10}{(10) - 8}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$10$ と $(10) - 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2 (5)}{(10) - 8}$

ステップ 2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 5 - 8}$

ステップ 2.1.2.1.2.2

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{2 (5)}{2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4}$

ステップ 2.1.2.1.2.3

$2$ を $2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (5)}{2 \cdot (5 - 4)}$

ステップ 2.1.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot (5 - 4)}$

ステップ 2.1.2.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{5}{5 - 4}$

ステップ 2.1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$5$ から $4$ を引きます。

$\frac{5}{1}$

ステップ 2.1.2.2.2

$5$ を $1$ で割ります。

$5$

ステップ 2.2

$t = 12$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$12$ を $t$ に代入します。

$\frac{12}{(12) - 8}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$12$ と $(12) - 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 (3)}{(12) - 8}$

ステップ 2.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3 - 8}$

ステップ 2.2.2.1.2.2

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{4 (3)}{4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2}$

ステップ 2.2.2.1.2.3

$4$ を $4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{4 (3)}{4 \cdot (3 - 2)}$

ステップ 2.2.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot (3 - 2)}$

ステップ 2.2.2.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{3}{3 - 2}$

ステップ 2.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{1}$

ステップ 2.2.2.2.2

$3$ を $1$ で割ります。

$3$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(10, 5), (12, 3)$

ステップ 3

$t$ の各値に対して求めた $g (t)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $g (t)$ の値で発生し、最小値は最も低い $g (t)$ の値で発生します。

最大値： $(10, 5)$

最小値： $(12, 3)$

ステップ 4

微分積分 例

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