微分積分例

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{4} - 16}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x^{4} - 16}$ を ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} - 16$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} - 16$ で置き換えます。

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 1.3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 1.3.4

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

ステップ 1.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

ステップ 1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 1.5.3

$x^{3}$ と $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.5.4

$8$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.3.3

$3$ を ${(x^{4} - 16)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{4} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} - 16$ とします。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} - 16$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

総和則では、 $x^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.5.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.5.4

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.5.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.5.5.2

$4$ を $x^{4} - 16$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 16) x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.5.5.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 16) x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.7

$3$ と $3$ をたし算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.8

$- 8$ と $\frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.9

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.1

${(x^{4} - 16)}^{2}$ を $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 ((x^{4} - 16) (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} (x^{4} - 16) - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.3.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.3.1.1.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.3.1.2

$- 16$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 \cdot x^{4} - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.3.1.3

$- 16$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 x^{4} - 16 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.3.2

$- 16 x^{4}$ から $16 x^{4}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 32 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.5.1

$- 32$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.5.2

$3$ に $256$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 768) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.6

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{8} x^{2} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.7.1

指数を足して $x^{8}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.7.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{2} x^{8}) - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2 + 8} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.7.1.3

$2$ と $8$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.7.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.7.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 (x^{2} x^{4}) + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{2 + 4} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.7.2.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{6} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.8

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10}) + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.9.1

$3$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.9.2

$- 96$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.9.3

$768$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.10

指数を足して $x^{6}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.10.1

$x^{4}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.10.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{4 + 6}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.10.3

$4$ と $6$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{10}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.11

$- 8$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.12

$- 16$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (128 x^{6})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.13

$128$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.2

$24 x^{10}$ から $64 x^{10}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.3.3

$- 768 x^{6}$ と $1024 x^{6}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.1

$8 x^{2}$ を $- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.1.1

$8 x^{2}$ を $- 40 x^{10}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.1.2

$8 x^{2}$ を $256 x^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.1.3

$8 x^{2}$ を $6144 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.1.4

$8 x^{2}$ を $8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4})$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.1.5

$8 x^{2}$ を $8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.2

$x^{8}$ を ${(x^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.3

$u = x^{4}$ とします。 $u$ を $x^{4}$ に代入します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 5 \cdot 768 = - 3840$ で和が $b = 32$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.4.1.1

$32$ を $32 u$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 (u) + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.4.1.2

$32$ を $- 48$ プラス $80$ に書き換える

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 48 + 80) u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.4.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} - 48 u + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u^{2} - 48 u) + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (u (- 5 u - 48) - 16 (- 5 u - 48))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.4.3

最大公約数 $- 5 u - 48$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u - 48) (u - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.6

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.4.9

因数分解。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

ステップ 2.10.5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

ステップ 2.10.5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

ステップ 2.10.5.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

ステップ 2.10.5.5

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 4) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.7.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.7.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.7.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.7.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.7.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.7.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.8

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.8.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.8.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.9

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.5.10

積の法則を $(x + 2) (x^{2} + 4)$ に当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.6

$x^{2} + 4$ と ${(x^{2} + 4)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.6.1

$x^{2} + 4$ を $8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.6.2.1

$x^{2} + 4$ を ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

ステップ 2.10.6.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

ステップ 2.10.6.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.7

$x + 2$ と ${(x + 2)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.7.1

$x + 2$ を $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.7.2.1

$x + 2$ を ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

ステップ 2.10.7.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

ステップ 2.10.7.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.8

$x - 2$ と ${(x - 2)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.8.1

$x - 2$ を $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 2.10.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.8.2.1

$x - 2$ を ${(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

ステップ 2.10.8.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

ステップ 2.10.8.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.9

$- 1$ を $- 5 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.10

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.11

$- 1$ を $- (5 x^{4}) - 1 (48)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.12

$- (5 x^{4} + 48)$ を $- 1 (5 x^{4} + 48)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.13

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.14

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

ステップ 2.10.15

$\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.16

$\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{4} - 16}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

ステップ 4.1.1.2

$\frac{1}{x^{4} - 16}$ を ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} - 16$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 4.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} - 16$ で置き換えます。

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 4.1.3.2

総和則では、 $x^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 4.1.3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 4.1.3.4

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

ステップ 4.1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

ステップ 4.1.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

ステップ 4.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 4.1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 4.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 4.1.5.3

$x^{3}$ と $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.5.4

$8$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ です。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$8 x^{3} = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$8 x^{3} = 0$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$8 x^{3} = 0$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 5.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 5.3.1.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{8}$

ステップ 5.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1

$0$ を $8$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.3.3

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.3.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.4.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.4.2.2

不要な括弧を削除します。

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.5

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.6

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2)$ に当てはめます。

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.3

${(x^{2} + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

${(x^{2} + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.3.2

$x$ について ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 6.2.3.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 6.2.3.2.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 6.2.3.2.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 6.2.3.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 6.2.3.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 6.2.3.2.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 6.2.3.2.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 6.2.3.2.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 6.2.3.2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 6.2.3.2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 6.2.3.2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 6.2.4

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.4.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.2.4.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.2.5

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.5.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.2.5.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.2.6

最終解は ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

ステップ 6.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 48)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{8 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{8 \cdot 0^{2} (0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

$0$ と $48$ をたし算します。

$\frac{8 \cdot 0^{2} \cdot 48}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.4

$48$ に $8$ をかけます。

$\frac{384 \cdot 0^{2}}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{384 \cdot 0}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ を $- 1 (0)$ に書き換えます。

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.3

$- 1$ を $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.4

積の法則を $- 1 \cdot (0 - 2)$ に当てはめます。

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.6

指数を足して ${(0 - 2)}^{3}$ に ${(0 - 2)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.6.1

${(0 - 2)}^{3}$ を移動させます。

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.6.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.3

$384$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.4.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

ステップ 9.4.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.4.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4.2

積の法則を $- 1 (2)$ に当てはめます。

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4.3

$- 1$ を $6$ 乗します。

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4.4

$2^{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

ステップ 9.4.4.6

${(2^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.4.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

ステップ 9.4.4.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

ステップ 9.4.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

ステップ 9.4.4.8

$6$ と $6$ をたし算します。

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{12}}$

ステップ 9.4.5

$2$ を $12$ 乗します。

$\frac{0}{- 1 \cdot 4096}$

ステップ 9.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$- 1$ に $4096$ をかけます。

$\frac{0}{- 4096}$

ステップ 9.5.2

$0$ を $- 4096$ で割ります。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 10.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

ステップ 10.2.2.2.2

$256$ から $16$ を引きます。

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

ステップ 10.2.2.2.3

$240$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

ステップ 10.2.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 10.2.2.3.1

$8$ に $- 64$ をかけます。

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

ステップ 10.2.2.3.2

$- 512$ と $57600$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.3.2.1

$256$ を $- 512$ で因数分解します。

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

ステップ 10.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.3.2.2.1

$256$ を $57600$ で因数分解します。

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

ステップ 10.2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

ステップ 10.2.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

ステップ 10.2.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

ステップ 10.2.2.4

最終的な答えは $\frac{2}{225}$ です。

$\frac{2}{225}$

ステップ 10.3

一次導関数 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ の区間 $(0, \infty)$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 10.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

ステップ 10.3.2.2.2

$1$ から $16$ を引きます。

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

ステップ 10.3.2.2.3

$- 15$ を $2$ 乗します。

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

ステップ 10.3.2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

ステップ 10.3.2.4

最終的な答えは $- \frac{8}{225}$ です。

$- \frac{8}{225}$

ステップ 10.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例