微分積分例

f (x) = x^{3} - x - 1

$f (x) = x^{3} - x - 1$ ; between

$1$ and

$2$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、

$x^{3} - x - 1$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$- 1$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$- x$ の微分係数は

$- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は

$x$ について定数なので、

$x$ について

$- 1$ の微分係数は

$0$ です。

$3 x^{2} - 1 + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$3 x^{2} - 1$ と

$0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する

$f (x)$ の一次導関数は

$3 x^{2} - 1$ です。

$3 x^{2} - 1$

ステップ 1.2

一次導関数を

$0$ と等しくし、次に方程式

$3 x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を

$0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$3 x^{2} = 1$

ステップ 1.2.3

$3 x^{2} = 1$ の各項を

$3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$3 x^{2} = 1$ の各項を

$3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を

$1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.2

$1$ のいずれの根は

$1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.4.2

$\sqrt{3}$ を

$1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.4.3

$\sqrt{3}$ を

$1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 1.2.5.4.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.5.4.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 1.2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を

$3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{3}$ を

$3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 1.2.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.6.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が

$0$ または未定義のとき、各

$x$ における

$x^{3} - x - 1$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ を

$x$ に代入します。

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

積の法則を

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.2.1

${\sqrt{3}}^{3}$ を

$\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2.2

$3$ を

$3$ 乗します。

$\frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2.3

$27$ を

$3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.2.3.1

$9$ を

$27$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2.3.2

$9$ を

$3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$3$ を

$3$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{3}}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$3$ と

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.1

$3$ を

$3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.2.1

$3$ を

$27$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

ステップ 1.4.1.2.2

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

ステップ 1.4.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を

$9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に

$\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$3$ に

$3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

ステップ 1.4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

ステップ 1.4.1.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1.1

$3$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

ステップ 1.4.1.2.5.1.2

$\sqrt{3}$ から

$3 \sqrt{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9} - 1$

ステップ 1.4.1.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

ステップ 1.4.2

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ を

$x$ に代入します。

${(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.1

積の法則を

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

積の法則を

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 1$ を

$3$ 乗します。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.3.1

${\sqrt{3}}^{3}$ を

$\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3.2

$3$ を

$3$ 乗します。

$- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3.3

$27$ を

$3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.3.3.1

$9$ を

$27$ で因数分解します。

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3.3.2

$9$ を

$3^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3.4

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$3$ を

$3$ 乗します。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$3$ と

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.5.1

$3$ を

$3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$- \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.1

$3$ を

$27$ で因数分解します。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$- (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.6.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

ステップ 1.4.2.2.1.6.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に

$1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

ステップ 1.4.2.2.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

ステップ 1.4.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を

$9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に

$\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

ステップ 1.4.2.2.3.2

$3$ に

$3$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

ステップ 1.4.2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

ステップ 1.4.2.2.4.2

$\sqrt{3} \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

ステップ 1.4.2.2.5

$- \sqrt{3}$ と

$3 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1$ を

$x$ に代入します。

${(1)}^{3} - (1) - 1$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - (1) - 1$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$1 - 1 - 1$

ステップ 3.1.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$1$ から

$1$ を引きます。

$0 - 1$

ステップ 3.1.2.2.2

$0$ から

$1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 3.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ を

$x$ に代入します。

${(2)}^{3} - (2) - 1$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$2$ を

$3$ 乗します。

$8 - (2) - 1$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 1$ に

$2$ をかけます。

$8 - 2 - 1$

ステップ 3.2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$8$ から

$2$ を引きます。

$6 - 1$

ステップ 3.2.2.2.2

$6$ から

$1$ を引きます。

$5$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 1), (2, 5)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた

$f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い

$f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い

$f (x)$ の値で発生します。

最大値：

$(2, 5)$

最小値：

$(1, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例