微分積分例

$f (x) = 3 \sin (x) \cos (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (x) \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$3 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ステップ 1.1.1.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 1.1.1.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 1.1.1.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 1.1.1.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 1.1.1.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.13.1

分配則を当てはめます。

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

ステップ 1.1.1.13.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ です。

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.2

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$3$ を $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$3$ を $- 3 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$3$ を $3 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$3$ を $3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- \sin^{2} (x)$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$3 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 1.2.2.3

因数分解。

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ステップ 1.2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

ステップ 1.2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.4

$\cos (x) + \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$\cos (x) + \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $\cos (x) + \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.4.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.4.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.4.2.4

分数を分解します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.4.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 1.2.4.2.6

$0$ を $1$ で割ります。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 1.2.4.2.7

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 + \tan (x) = 0$

ステップ 1.2.4.2.8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 1.2.4.2.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 1.2.4.2.10

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.10.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.4.2.11

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 1.2.4.2.12

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.12.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 1.2.4.2.12.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.4.2.13

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.13.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 1.2.4.2.13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.4.2.13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 1.2.4.2.13.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.4.2.14

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.14.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 1.2.4.2.14.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.4.2.14.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.14.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.4.2.14.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 1.2.4.2.14.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.14.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 1.2.4.2.14.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.4.2.14.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.4.2.15

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.5

$\cos (x) - \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$\cos (x) - \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $\cos (x) - \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5.2.3

分数を分解します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5.2.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5.2.6

分数を分解します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 1.2.5.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 1.2.5.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 - \tan (x) = 0$

ステップ 1.2.5.2.10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \tan (x) = - 1$

ステップ 1.2.5.2.11

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.11.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.11.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.11.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.11.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.11.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 1.2.5.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 1.2.5.2.13

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.13.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.5.2.14

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.5.2.15

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.15.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.5.2.15.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.15.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.5.2.15.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 1.2.5.2.15.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.15.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 1.2.5.2.15.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 1.2.5.2.16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 1.2.5.2.16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.5.2.16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 1.2.5.2.16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.5.2.17

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.6

最終解は $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.7

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 \sin (x) \cos (x)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.2

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.1.2.4

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.5

指数を求めます。

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

ステップ 1.4.1.2.6

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{4}$

ステップ 1.4.1.2.7

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (3)}{4}$

ステップ 1.4.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{3 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$\frac{3 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$3 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.3

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 1.4.2.2.5

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 1.4.2.2.6

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.6.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.6.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.6.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.6.6

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.7.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.7.5

指数を求めます。

$- \frac{3 \cdot 2}{4}$

ステップ 1.4.2.2.8

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{6}{4}$

ステップ 1.4.2.2.9

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.9.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{2 (3)}{4}$

ステップ 1.4.2.2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.9.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{3}{2})$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 3.1.2.2

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 3.1.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.1.2.4

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 3.1.2.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 3.1.2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.1.2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 3.1.2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 3.1.2.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

ステップ 3.1.2.5.5

指数を求めます。

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

ステップ 3.1.2.6

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{4}$

ステップ 3.1.2.7

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (3)}{4}$

ステップ 3.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 3.2

$x = π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$π$ を $x$ に代入します。

$3 \sin (π) \cos (π)$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$3 \sin (0) \cos (π)$

ステップ 3.2.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$3 \cdot 0 \cos (π)$

ステップ 3.2.2.3

$3$ に $0$ をかけます。

$0 \cos (π)$

ステップ 3.2.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 (- \cos (0))$

ステップ 3.2.2.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.2.2.6

$0 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 \cdot - 1$

ステップ 3.2.2.6.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 0)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{π}{4}, \frac{3}{2})$

最小値： $(\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例