微分積分例

$f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $8$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 15 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$- 15$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.3.3

$16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 15$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 16 + 0$

ステップ 2.4.2

$- 6 x + 16$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 x + 16$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $8$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 15 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

ステップ 4.1.4.3

$- 15$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 16 x - 15$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ です。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

ステップ 5.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3

$a = - 3$ 、 $b = 16$ 、および $c = - 15$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$16$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.4.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.4.1.2.2

$12$ に $- 15$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.4.1.3

$256$ から $180$ を引きます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.4.1.4

$76$ を $2^{2} \cdot 19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1

$4$ を $76$ で因数分解します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

ステップ 5.4.3

$\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ を簡約します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

ステップ 5.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$16$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.5.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.5.1.2.2

$12$ に $- 15$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.5.1.3

$256$ から $180$ を引きます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.5.1.4

$76$ を $2^{2} \cdot 19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.4.1

$4$ を $76$ で因数分解します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.5.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

ステップ 5.5.3

$\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ を簡約します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

ステップ 5.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 5.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$16$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.6.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.2.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.6.1.2.2

$12$ に $- 15$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.6.1.3

$256$ から $180$ を引きます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.6.1.4

$76$ を $2^{2} \cdot 19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.4.1

$4$ を $76$ で因数分解します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

ステップ 5.6.3

$\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ を簡約します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

ステップ 5.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 8

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$3 (- 2) \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

ステップ 9.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 2 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

ステップ 9.1.1.3

式を書き換えます。

$- 2 (8 + \sqrt{19}) + 16$

ステップ 9.1.2

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 8 - 2 \sqrt{19} + 16$

ステップ 9.1.3

$- 2$ に $8$ をかけます。

$- 16 - 2 \sqrt{19} + 16$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- 16$ と $16$ をたし算します。

$0 - 2 \sqrt{19}$

ステップ 9.2.2

$0$ から $2 \sqrt{19}$ を引きます。

$- 2 \sqrt{19}$

ステップ 10

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.3

二項定理を利用します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$8$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.2

$8$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.3

$3$ に $64$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.4

$3$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.5

${\sqrt{19}}^{2}$ を $19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{19}$ を $19^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.6

$24$ に $19$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.7

${\sqrt{19}}^{3}$ を $\sqrt{19^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.8

$19$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.9

$6859$ を $19^{2} \cdot 19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.9.1

$361$ を $6859$ で因数分解します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.9.2

$361$ を $19^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.4.10

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.5

$512$ と $456$ をたし算します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 192 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.6

$192 \sqrt{19}$ と $19 \sqrt{19}$ をたし算します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.7

積の法則を $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.8

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.9

${(8 + \sqrt{19})}^{2}$ を $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ に書き換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.10

分配法則（FOIL法）を使って $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.10.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.10.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.11.1.1

$8$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.11.1.2

$8$ を $\sqrt{19}$ の左に移動させます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.11.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.11.1.4

$19$ に $19$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.11.1.5

$361$ を $19^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.11.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.11.2

$64$ と $19$ をたし算します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.11.3

$8 \sqrt{19}$ と $8 \sqrt{19}$ をたし算します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.12

$8$ と $\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

ステップ 11.2.1.13

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.13.1

$3$ を $- 15$ で因数分解します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

ステップ 11.2.1.13.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

ステップ 11.2.1.13.3

式を書き換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 + \sqrt{19})$

ステップ 11.2.1.14

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.1.15

$- 5$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.2

$\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 + 211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.2

$- 1$ に $968$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.3

$211$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.5

$8$ に $83$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.6

$16$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.7

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.8

$664$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.9

$3$ に $128$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.10

$- 968$ と $1992$ をたし算します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 211 \sqrt{19} + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.5.11

$- 211 \sqrt{19}$ と $384 \sqrt{19}$ をたし算します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.6

$- 40$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.7

$- 40$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.8.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.8.2

$- 40$ に $27$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 1080}{27} - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.8.3

$1024$ から $1080$ を引きます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19}$

ステップ 11.2.9

$- 5 \sqrt{19}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 11.2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.10.1

$- 5 \sqrt{19}$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

ステップ 11.2.10.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

ステップ 11.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.11.1

$27$ に $- 5$ をかけます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 135 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 11.2.11.2

$173 \sqrt{19}$ から $135 \sqrt{19}$ を引きます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 11.2.12

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.12.1

$- 56$ を $- 1 (56)$ に書き換えます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 11.2.12.2

$- 1$ を $38 \sqrt{19}$ で因数分解します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (- 38 \sqrt{19})}{27}$

ステップ 11.2.12.3

$- 1$ を $- 1 (56) - (- 38 \sqrt{19})$ で因数分解します。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 - 38 \sqrt{19})}{27}$

ステップ 11.2.12.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 11.2.13

最終的な答えは $- \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$ です。

$y = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 12

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$3 (- 2) \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

ステップ 13.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 2 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

ステップ 13.1.1.3

式を書き換えます。

$- 2 (8 - \sqrt{19}) + 16$

ステップ 13.1.2

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 8 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

ステップ 13.1.3

$- 2$ に $8$ をかけます。

$- 16 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

ステップ 13.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 16 + 2 \sqrt{19} + 16$

ステップ 13.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 16$ と $16$ をたし算します。

$0 + 2 \sqrt{19}$

ステップ 13.2.2

$0$ と $2 \sqrt{19}$ をたし算します。

$2 \sqrt{19}$

ステップ 14

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ は極小値です

ステップ 15

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

積の法則を $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.3

二項定理を利用します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1

$8$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.2

$8$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.3

$3$ に $64$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.4

$- 1$ に $192$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.5

$3$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.6

積の法則を $- \sqrt{19}$ に当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.8

${\sqrt{19}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.9

${\sqrt{19}}^{2}$ を $19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{19}$ を $19^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.9.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.9.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.9.5

指数を求めます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.10

$24$ に $19$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.11

積の法則を $- \sqrt{19}$ に当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.13

${\sqrt{19}}^{3}$ を $\sqrt{19^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.14

$19$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.15

$6859$ を $19^{2} \cdot 19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.15.1

$361$ を $6859$ で因数分解します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.15.2

$361$ を $19^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.16

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - (19 \sqrt{19})}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.4.17

$19$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.5

$512$ と $456$ をたし算します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 192 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.6

$- 192 \sqrt{19}$ から $19 \sqrt{19}$ を引きます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.7

積の法則を $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.8

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.9

${(8 - \sqrt{19})}^{2}$ を $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ に書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.10

分配法則（FOIL法）を使って $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.10.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.10.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.11.1.1

$8$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.4

$- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.11.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.4.2

$\sqrt{19}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.4.3

$\sqrt{19}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.4.4

$\sqrt{19}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.5

${\sqrt{19}}^{2}$ を $19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.11.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{19}$ を $19^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.11.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.1.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.2

$64$ と $19$ をたし算します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.11.3

$- 8 \sqrt{19}$ から $8 \sqrt{19}$ を引きます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.12

$8$ と $\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

ステップ 15.2.1.13

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.13.1

$3$ を $- 15$ で因数分解します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

ステップ 15.2.1.13.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

ステップ 15.2.1.13.3

式を書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 - \sqrt{19})$

ステップ 15.2.1.14

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 (- \sqrt{19})$

ステップ 15.2.1.15

$- 5$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 (- \sqrt{19})$

ステップ 15.2.1.16

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.2

$\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 - 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.2

$- 1$ に $968$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.3

$- 211$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.5

$8$ に $83$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.6

$- 16$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 - 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.7

分配則を当てはめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.8

$664$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.9

$3$ に $- 128$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.10

$- 968$ と $1992$ をたし算します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 211 \sqrt{19} - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.5.11

$211 \sqrt{19}$ から $384 \sqrt{19}$ を引きます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.6

$- 40$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.7

$- 40$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.8.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.8.2

$- 40$ に $27$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 1080}{27} + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.8.3

$1024$ から $1080$ を引きます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19}$

ステップ 15.2.9

$5 \sqrt{19}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 15.2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.10.1

$5 \sqrt{19}$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

ステップ 15.2.10.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

ステップ 15.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.11.1

$27$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 135 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 15.2.11.2

$- 173 \sqrt{19}$ と $135 \sqrt{19}$ をたし算します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 15.2.12

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.12.1

$- 56$ を $- 1 (56)$ に書き換えます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 15.2.12.2

$- 1$ を $- 38 \sqrt{19}$ で因数分解します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (38 \sqrt{19})}{27}$

ステップ 15.2.12.3

$- 1$ を $- 1 (56) - (38 \sqrt{19})$ で因数分解します。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 + 38 \sqrt{19})}{27}$

ステップ 15.2.12.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 15.2.13

最終的な答えは $- \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$ です。

$y = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

ステップ 16

$f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ の極値です。

$(\frac{8 + \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27})$ は極大値です

$(\frac{8 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27})$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例