微分積分例

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2 x - \frac{5}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{5}{x}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - 5 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$2 + 5 x^{- 2}$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.2

$5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{5}{x^{2}} + 2$ です。

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

ステップ 1.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 1.2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 1.2.4

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.4.1

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$5 = - 2 x^{2}$

ステップ 1.2.5

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

方程式を $- 2 x^{2} = 5$ として書き換えます。

$- 2 x^{2} = 5$

ステップ 1.2.5.2

$- 2 x^{2} = 5$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

$- 2 x^{2} = 5$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

ステップ 1.2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

ステップ 1.2.5.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

ステップ 1.2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

ステップ 1.2.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

ステップ 1.2.5.4

$\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

ステップ 1.2.5.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

ステップ 1.2.5.4.3

$\sqrt{\frac{5}{2}}$ を $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.4.4

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 1.2.5.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.5.1

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.4.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.4.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 1.2.5.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.5.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.2.5.4.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.5.4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.5.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.4.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 1.2.5.4.5.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.5.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

ステップ 1.2.5.4.6.2

$5$ に $2$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

ステップ 1.2.5.4.7

$i$ と $\frac{\sqrt{10}}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

ステップ 1.2.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

ステップ 1.2.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

ステップ 1.2.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{5}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x - \frac{5}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 (0) - \frac{5}{0}$

ステップ 1.4.1.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$2 (5) - \frac{5}{5}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$10 - \frac{5}{5}$

ステップ 2.1.2.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$10 - \frac{5}{5}$

ステップ 2.1.2.1.2.2

式を書き換えます。

$10 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$10 - 1$

ステップ 2.1.2.2

$10$ から $1$ を引きます。

$9$

ステップ 2.2

$x = 7$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$7$ を $x$ に代入します。

$2 (7) - \frac{5}{7}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ に $7$ をかけます。

$14 - \frac{5}{7}$

ステップ 2.2.2.2

$14$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

ステップ 2.2.2.3

$14$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

ステップ 2.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

ステップ 2.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.2.5.1

$14$ に $7$ をかけます。

$\frac{98 - 5}{7}$

ステップ 2.2.2.5.2

$98$ から $5$ を引きます。

$\frac{93}{7}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(7, \frac{93}{7})$

最小値： $(5, 9)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例