微分積分例

$f (x) = \sin (x) \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.1.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.1.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.1.7

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

ステップ 1.1.1.8

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

ステップ 1.1.1.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

ステップ 1.1.1.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.1.1.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1.1.1.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.12.1

$- \sin^{2} (x)$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1.1.1.12.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.3

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 1.1.1.12.3.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.3.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.3.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.4

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.1.12.4.1

$\cos (x) (- \sin (x))$ と $\sin (x) \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.4.2

$- \cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.4.3

$\cos (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.12.5.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.12.5.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.5.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

ステップ 1.1.1.12.5.3

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.1.12.5.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 1.1.1.12.5.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 1.1.1.12.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.1.1.12.5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1.1.1.12.6

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$f' (x) = \cos (2 x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\cos (2 x)$ です。

$\cos (2 x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\cos (2 x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.4

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.4.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.6.1

簡約します。

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ステップ 1.2.6.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.6.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.6.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.6.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 1.2.6.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.6.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.7

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 1.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.8

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sin (x) \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.1.2.3

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2^{1}}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4.5

指数を求めます。

$\frac{2}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{3 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$\frac{3 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 1.4.2.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 1.4.2.2.5

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.5.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.5.6

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{2^{1}}{4}$

ステップ 1.4.2.2.6.5

指数を求めます。

$- \frac{2}{4}$

ステップ 1.4.2.2.7

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.7.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{4}$

ステップ 1.4.2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{1}{2})$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5 π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{1}{2})$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sin (0) \cos (0)$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 \cos (0)$

ステップ 3.1.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.3

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

ステップ 3.2

$x = 2 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 π$ を $x$ に代入します。

$\sin (2 π) \cos (2 π)$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\sin (0) \cos (2 π)$

ステップ 3.2.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 \cos (2 π)$

ステップ 3.2.2.3

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$0 \cos (0)$

ステップ 3.2.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 \cdot 1$

ステップ 3.2.2.5

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (2 π, 0)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5 π}{4}, \frac{1}{2})$

最小値： $(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{1}{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例