微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{x}$ , $- 2 \leq x \leq - 1$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.3

掛け算します。

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ステップ 1.1.1.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 1.1.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 1.1.1.2.5.2

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2}$

ステップ 1.1.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{x^{2}}$ です。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 1.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- \frac{1}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$- \frac{1}{0}$

ステップ 1.4.1.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$- \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.2.2

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2})$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 2.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$- \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- - 1$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, \frac{1}{2}), (- 1, 1)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 1, 1)$

最小値： $(- 2, \frac{1}{2})$

ステップ 4

微分積分 例

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