微分積分例

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{\frac{x}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.4

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.6.1

$e^{\frac{x}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 1.1.1.3.6.2

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ です。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

$e^{\frac{x}{2}}$ を $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$e^{\frac{x}{2}}$ を $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ で因数分解します。

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$e^{\frac{x}{2}}$ を $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$e^{\frac{x}{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$e^{\frac{x}{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $e^{\frac{x}{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

ステップ 1.2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 1.2.4.2.3

$e^{\frac{x}{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 1.2.5

$\frac{x}{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$\frac{x}{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $\frac{x}{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{x}{2} = - 1$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x e^{\frac{x}{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$- 2$ を $2$ で割ります。

$- 2 \cdot e^{- 1}$

ステップ 1.4.1.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 1.4.1.2.3

$- 2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{e}$

ステップ 1.4.1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e}$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, - \frac{2}{e})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.1.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.2.3

$- 3$ と $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.2.2

$e^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(1, e^{\frac{1}{2}})$

最小値： $(- 2, - \frac{2}{e})$

ステップ 4

微分積分 例

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