微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ on $2$ , $7$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$- 27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 27 x^{2}$ の微分係数は $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x]$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $- 27$ をかけます。

$6 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [108 x]$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [108 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$108$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $108 x$ の微分係数は $108 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} - 54 x + 108 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 54 x + 108 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.4.3

$108$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} - 54 x + 108$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} - 54 x + 108$ です。

$6 x^{2} - 54 x + 108$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$6$ を $6 x^{2} - 54 x + 108$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) - 54 x + 108 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$6$ を $- 54 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (- 9 x) + 108 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$6$ を $108$ で因数分解します。

$6 x^{2} + 6 (- 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$6$ を $6 x^{2} + 6 (- 9 x)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

ステップ 1.2.2.2

因数分解。

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ステップ 1.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 9 x + 18$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $18$ で、その和が $- 9$ です。

$- 6, - 3$

ステップ 1.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 6) (x - 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 1.2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 1.2.6

最終解は $6 (x - 6) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 6$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$6$ を $x$ に代入します。

$2 {(6)}^{3} - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 216 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$2$ に $216$ をかけます。

$432 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$432 - 27 \cdot 36 + 108 (6)$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- 27$ に $36$ をかけます。

$432 - 972 + 108 (6)$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$108$ に $6$ をかけます。

$432 - 972 + 648$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$432$ から $972$ を引きます。

$- 540 + 648$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$- 540$ と $648$ をたし算します。

$108$

ステップ 1.4.2

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$2 {(3)}^{3} - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 27 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$2$ に $27$ をかけます。

$54 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$54 - 27 \cdot 9 + 108 (3)$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$- 27$ に $9$ をかけます。

$54 - 243 + 108 (3)$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$108$ に $3$ をかけます。

$54 - 243 + 324$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$54$ から $243$ を引きます。

$- 189 + 324$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 189$ と $324$ をたし算します。

$135$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(6, 108), (3, 135)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$2 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

指数を足して $2$ に ${(2)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.1

$2$ に ${(2)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

ステップ 2.1.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

ステップ 2.1.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$2^{4} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

ステップ 2.1.2.1.2

$2$ を $4$ 乗します。

$16 - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

ステップ 2.1.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$16 - 27 \cdot 4 + 108 (2)$

ステップ 2.1.2.1.4

$- 27$ に $4$ をかけます。

$16 - 108 + 108 (2)$

ステップ 2.1.2.1.5

$108$ に $2$ をかけます。

$16 - 108 + 216$

ステップ 2.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$16$ から $108$ を引きます。

$- 92 + 216$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 92$ と $216$ をたし算します。

$124$

ステップ 2.2

$x = 7$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$7$ を $x$ に代入します。

$2 {(7)}^{3} - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$7$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 343 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ に $343$ をかけます。

$686 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

ステップ 2.2.2.1.3

$7$ を $2$ 乗します。

$686 - 27 \cdot 49 + 108 (7)$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 27$ に $49$ をかけます。

$686 - 1323 + 108 (7)$

ステップ 2.2.2.1.5

$108$ に $7$ をかけます。

$686 - 1323 + 756$

ステップ 2.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$686$ から $1323$ を引きます。

$- 637 + 756$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 637$ と $756$ をたし算します。

$119$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, 124), (7, 119)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(3, 135)$

最小値： $(6, 108)$

ステップ 4

微分積分 例

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