微分積分例

$f (x) = | x + 1 |$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

ステップ 1.2.4.2

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = | x + 1 |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$| x + 1 |$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.3

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.4.4.2

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.2

$- x - 1$ に $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.4

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.5

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.6

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.2

$| x + 1 |$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

$| x + 1 | | x + 1 |$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.1

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.2

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.5

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.8

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.10

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11

因数分解した形で $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.11.1

項を再分類します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2

$- 1$ を $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.11.2.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2.3

$- 1$ を $| x^{2} + 2 x + 1 |$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (2 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2.5

$- 1$ を $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.3

$- 1$ を $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.11.3.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.3.2

$- 1$ を $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.3.3

$- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ を $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$

ステップ 2.5.3.2

$\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ に $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

ステップ 2.5.3.3

指数を足して ${| x + 1 |}^{2}$ に $| x + 1 |$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.3.1

${| x + 1 |}^{2}$ に $| x + 1 |$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.3.1.1

$| x + 1 |$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

ステップ 2.5.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

ステップ 2.5.3.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.1.1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

ステップ 4.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

ステップ 4.1.2.4.2

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ です。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.4

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| x + 1 | = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x + 1 = \pm 0$

ステップ 6.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 1$

ステップ 8

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

ステップ 9.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

ステップ 9.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ の区間 $(- \infty, - 1)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

ステップ 10.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

ステップ 10.2.2.2.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 3$ と $0$ の間の距離は $3$ です。

$f' (- 4) = \frac{- 3}{3}$

ステップ 10.2.2.3

$- 3$ を $3$ で割ります。

$f' (- 4) = - 1$

ステップ 10.2.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 10.3

一次導関数 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ の区間 $(- 1, \infty)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{1}{| 0 + 1 |}$

ステップ 10.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{1}{| 1 |}$

ステップ 10.3.2.2.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$f' (0) = \frac{1}{1}$

ステップ 10.3.2.3

$1$ を $1$ で割ります。

$f' (0) = 1$

ステップ 10.3.2.4

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 10.4

$x = - 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 1$ は極小値です。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例