微分積分例

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ on $[0, 2]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 3 + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$3 x^{2} - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 3$ です。

$3 x^{2} - 3$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$3 x^{2} = 3$

ステップ 1.2.3

$3 x^{2} = 3$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$3 x^{2} = 3$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{3}{3}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$3$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 3 x + 1$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 3 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$1 - 3 + 1$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$- 2 + 1$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$- 1$

ステップ 1.4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 3 + 1$

ステップ 1.4.2.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.2.1

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$2 + 1$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 1), (- 1, 3)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(1, - 1)$

ステップ 3

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 3.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 3.2

一次導関数 $3 x^{2} - 3$ の区間 $(- \infty, - 1)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 3$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 3$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = 48 - 3$

ステップ 3.2.2.2

$48$ から $3$ を引きます。

$f' (- 4) = 45$

ステップ 3.2.2.3

最終的な答えは $45$ です。

$45$

ステップ 3.3

一次導関数 $3 x^{2} - 3$ の区間 $(- 1, 1)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

ステップ 3.3.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 3$

ステップ 3.3.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f' (0) = - 3$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 3.4

一次導関数 $3 x^{2} - 3$ の区間 $(1, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 3$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 3$

ステップ 3.4.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = 48 - 3$

ステップ 3.4.2.2

$48$ から $3$ を引きます。

$f' (4) = 45$

ステップ 3.4.2.3

最終的な答えは $45$ です。

$45$

ステップ 3.5

$x = - 1$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 1$ は極大値です。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 3.6

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 1$ は極小値です。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 3.7

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ の極値です。

$x = - 1$ は極大値です

$x = 1$ は極小値です

$x = - 1$ は極大値です

$x = 1$ は極小値です

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(1, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

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