微分積分例

$g (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ , $[- 1, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$2$ を $t^{2} + 3$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $t^{2} + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1.1

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.1

$t$ を移動させます。

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 t^{3} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.2

$2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.2.1

$2 t^{3}$ から $2 t^{3}$ を引きます。

$\frac{6 t + 0}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.2.2

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$f' (t) = \frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$t$ に関する $g (t)$ の一次導関数は $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$ です。

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$6 t = 0$

ステップ 1.2.3

$6 t = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$6 t = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{0}{6}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$t = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $\frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$t = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $t$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

ステップ 1.4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 + 3}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{3}$

ステップ 1.4.1.2.3

$0$ を $3$ で割ります。

$0$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$t = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 1$ を $t$ に代入します。

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

ステップ 2.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{1 + 3}$

ステップ 2.1.2.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{4}$

ステップ 2.2

$t = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ を $t$ に代入します。

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{1^{2} + 3}$

ステップ 2.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{1 + 3}$

ステップ 2.2.2.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{4}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

ステップ 3

$t$ の各値に対して求めた $g (t)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $g (t)$ の値で発生し、最小値は最も低い $g (t)$ の値で発生します。

最大値： $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

最小値： $(0, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例