微分積分例

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ です。

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$2$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $2 \cos (θ)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ です。

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

ステップ 1.1.1.2.2

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$f (θ) = θ^{2}$ および $g (θ) = \cos (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (θ)$ とします。

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

ステップ 1.1.1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

ステップ 1.1.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (θ)$ で置き換えます。

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

ステップ 1.1.1.3.2

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

ステップ 1.1.2

$θ$ に関する $f (θ)$ の一次導関数は $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ です。

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

ステップ 1.2.2

$2 \sin (θ)$ を $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$2 \sin (θ)$ を $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ で因数分解します。

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

ステップ 1.2.2.2

$2 \sin (θ)$ を $- 2 \sin (θ)$ で因数分解します。

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$2 \sin (θ)$ を $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$\sin (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$\sin (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (θ) = 0$

ステップ 1.2.4.2

$θ$ について $\sin (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (0)$

ステップ 1.2.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 1.2.4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = π - 0$

ステップ 1.2.4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$θ = π$

ステップ 1.2.4.2.5

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.4.2.6

$\sin (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.5

$- \cos (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$- \cos (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$θ$ について $- \cos (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- \cos (θ) = 1$

ステップ 1.2.5.2.2

$- \cos (θ) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$- \cos (θ) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.2.2.2

$\cos (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (θ) = - 1$

ステップ 1.2.5.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- 1)$

ステップ 1.2.5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.4.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$θ = π$

ステップ 1.2.5.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 2 π - π$

ステップ 1.2.5.2.6

$2 π$ から $π$ を引きます。

$θ = π$

ステップ 1.2.5.2.7

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.5.2.8

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.6

最終解は $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.7

答えをまとめます。

$θ = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $θ$ における $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$θ = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $θ$ に代入します。

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \cos^{2} (0)$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 + 1^{2}$

ステップ 1.4.1.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 + 1$

ステップ 1.4.1.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

ステップ 1.4.2

$θ = π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$π$ を $θ$ に代入します。

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 1.4.2.2.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

ステップ 1.4.2.2.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + \cos^{2} (π)$

ステップ 1.4.2.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 2 + 1$

ステップ 1.4.2.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$- 1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, 3), (2 π, 3), (π, - 1)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$θ = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$0$ を $θ$ に代入します。

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

ステップ 3.1.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \cos^{2} (0)$

ステップ 3.1.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 + 1^{2}$

ステップ 3.1.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 + 1$

ステップ 3.1.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

ステップ 3.2

$θ = 2 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 π$ を $θ$ に代入します。

$2 \cos (2 π) + \cos^{2} (2 π)$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 \cos (0) + \cos^{2} (2 π)$

ステップ 3.2.2.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (2 π)$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \cos^{2} (2 π)$

ステップ 3.2.2.1.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 + \cos^{2} (0)$

ステップ 3.2.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 + 1^{2}$

ステップ 3.2.2.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$2 + 1$

ステップ 3.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 3), (2 π, 3)$

ステップ 4

$θ$ の各値に対して求めた $f (θ)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (θ)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (θ)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 3), (2 π, 3)$

最小値： $(π, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例