微分積分例

$h (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{4}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x)$

ステップ 1.4.3

$2$ に $18$ をかけます。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ です。

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{3}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$h'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 12$ をかけます。

$h'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $24$ をかけます。

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $- 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{4}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x)$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ です。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 12 x$ を $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 12 x$ を $- 12 x^{3}$ で因数分解します。

$- 12 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 12 x$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (- 2 x) + 36 x = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 12 x$ を $36 x$ で因数分解します。

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (- 2 x) - 12 x \cdot - 3 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 12 x$ を $- 12 x (x^{2}) - 12 x (- 2 x)$ で因数分解します。

$- 12 x (x^{2} - 2 x) - 12 x \cdot - 3 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$- 12 x$ を $- 12 x (x^{2} - 2 x) - 12 x (- 3)$ で因数分解します。

$- 12 x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 12 x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 12 x (x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.7

最終解は $- 12 x (x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3, - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 3, - 1$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 36 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 36 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

ステップ 9.1.2

$- 36$ に $0$ をかけます。

$0 + 48 (0) + 36$

ステップ 9.1.3

$48$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 36$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 36$

ステップ 9.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$36$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$h (0) = - 3 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$h (0) = - 3 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$h (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$h (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.4

$8$ に $0$ をかけます。

$h (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$h (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0$

ステップ 11.2.1.6

$18$ に $0$ をかけます。

$h (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$h (0) = 0 + 0$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$h (0) = 0$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 36 {(3)}^{2} + 48 (3) + 36$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- 36 \cdot 9 + 48 (3) + 36$

ステップ 13.1.2

$- 36$ に $9$ をかけます。

$- 324 + 48 (3) + 36$

ステップ 13.1.3

$48$ に $3$ をかけます。

$- 324 + 144 + 36$

ステップ 13.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 324$ と $144$ をたし算します。

$- 180 + 36$

ステップ 13.2.2

$- 180$ と $36$ をたし算します。

$- 144$

ステップ 14

$x = 3$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極大値です

ステップ 15

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$h (3) = - 3 {(3)}^{4} + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$h (3) = - 3 \cdot 81 + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

ステップ 15.2.1.2

$- 3$ に $81$ をかけます。

$h (3) = - 243 + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

ステップ 15.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$h (3) = - 243 + 8 \cdot 27 + 18 {(3)}^{2}$

ステップ 15.2.1.4

$8$ に $27$ をかけます。

$h (3) = - 243 + 216 + 18 {(3)}^{2}$

ステップ 15.2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$h (3) = - 243 + 216 + 18 \cdot 9$

ステップ 15.2.1.6

$18$ に $9$ をかけます。

$h (3) = - 243 + 216 + 162$

ステップ 15.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 243$ と $216$ をたし算します。

$h (3) = - 27 + 162$

ステップ 15.2.2.2

$- 27$ と $162$ をたし算します。

$h (3) = 135$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $135$ です。

$y = 135$

ステップ 16

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 36 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1) + 36$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 36 \cdot 1 + 48 (- 1) + 36$

ステップ 17.1.2

$- 36$ に $1$ をかけます。

$- 36 + 48 (- 1) + 36$

ステップ 17.1.3

$48$ に $- 1$ をかけます。

$- 36 - 48 + 36$

ステップ 17.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$- 36$ から $48$ を引きます。

$- 84 + 36$

ステップ 17.2.2

$- 84$ と $36$ をたし算します。

$- 48$

ステップ 18

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 19

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$h (- 1) = - 3 {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$h (- 1) = - 3 \cdot 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$h (- 1) = - 3 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$h (- 1) = - 3 + 8 \cdot - 1 + 18 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.4

$8$ に $- 1$ をかけます。

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18 {(- 1)}^{2}$

ステップ 19.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18 \cdot 1$

ステップ 19.2.1.6

$18$ に $1$ をかけます。

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$- 3$ から $8$ を引きます。

$h (- 1) = - 11 + 18$

ステップ 19.2.2.2

$- 11$ と $18$ をたし算します。

$h (- 1) = 7$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $7$ です。

$y = 7$

ステップ 20

$h (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

$(3, 135)$ は極大値です

$(- 1, 7)$ は極大値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例