微分積分例

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ , $[0, 3]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ の微分係数は $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.7

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.8

$\frac{2}{5}$ に $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.9

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.10

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.11

共通因数を約分します。

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.12

$x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$- \frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ の微分係数は $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.8

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{4}{3}$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.9

$4$ に $3$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.10

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.11

$6$ を $12 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.12.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.12.2

共通因数を約分します。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.12.3

式を書き換えます。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.12.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4.3

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4.4

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.5.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + 0$

ステップ 1.1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.1

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$

ステップ 1.1.1.6.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

各項にある共通因数 $x^{\frac{1}{2}}$ を求めます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3

$u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

${(u)}^{2} {(u)}^{3} - 2 u = 0$

ステップ 1.2.4

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

指数を足して ${(u)}^{2}$ に ${(u)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u^{2 + 3} - 2 u = 0$

ステップ 1.2.4.1.2

$2$ と $3$ をたし算します。

$u^{5} - 2 u = 0$

ステップ 1.2.4.2

$u$ を $u^{5} - 2 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$u$ を $u^{5}$ で因数分解します。

$u \cdot u^{4} - 2 u = 0$

ステップ 1.2.4.2.2

$u$ を $- 2 u$ で因数分解します。

$u \cdot u^{4} + u \cdot - 2 = 0$

ステップ 1.2.4.2.3

$u$ を $u \cdot u^{4} + u \cdot - 2$ で因数分解します。

$u (u^{4} - 2) = 0$

ステップ 1.2.4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u^{4} - 2 = 0$

ステップ 1.2.4.4

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

ステップ 1.2.4.5

$u^{4} - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.5.1

$u^{4} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u^{4} - 2 = 0$

ステップ 1.2.4.5.2

$u$ について $u^{4} - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u^{4} = 2$

ステップ 1.2.4.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$u = \pm \sqrt[4]{2}$

ステップ 1.2.4.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = \sqrt[4]{2}$

ステップ 1.2.4.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$u = - \sqrt[4]{2}$

ステップ 1.2.4.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$u = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

ステップ 1.2.4.6

最終解は $u (u^{4} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

ステップ 1.2.5

$x$ を $u$ に代入します。

$x^{\frac{1}{2}} = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

ステップ 1.2.6

$x$ の $x^{\frac{1}{2}} = 0$ についてを解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.6.2

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.6.2.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.6.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.2.6.2.1.1.2

簡約します。

$x = 0^{2}$

ステップ 1.2.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 1.2.7

$x$ の $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{2}$ についてを解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

ステップ 1.2.7.2

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

ステップ 1.2.7.2.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

ステップ 1.2.7.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

ステップ 1.2.7.2.1.1.2

簡約します。

$x = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

ステップ 1.2.7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.2.1

${\sqrt[4]{2}}^{2}$ を $\sqrt{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{2}$ を $2^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$x = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2}$

ステップ 1.2.7.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = 2^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.2.2.1.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$x = 2^{\frac{2}{4}}$

ステップ 1.2.7.2.2.1.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.2.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = 2^{\frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 1.2.7.2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.2.1.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.7.2.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.7.2.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$x = 2^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.7.2.2.1.5

$2^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 1.2.8

すべての解をまとめます。

$x = 0, \sqrt{2}, \sqrt{2}$

ステップ 1.2.9

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.3.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x^{1}}$

ステップ 1.3.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

ステップ 1.3.2

$\sqrt{x^{3}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} < 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.3.3.2

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x < \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.3.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x < 0$

ステップ 1.3.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$0$ を $5$ で割ります。

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4.3.2

式を書き換えます。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.6

$0$ を $3$ で割ります。

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.9

$0$ を $2$ で割ります。

$0 + 0 + 0 - 4$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 4)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.3

$0$ を $5$ で割ります。

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.4.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.4.3.2

式を書き換えます。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.4.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.5

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.6

$0$ を $3$ で割ります。

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

ステップ 2.1.2.1.9

$0$ を $2$ で割ります。

$0 + 0 + 0 - 4$

ステップ 2.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 - 4$

ステップ 2.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 4$

ステップ 2.1.2.2.3

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 2.2

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$\frac{2 {(3)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $3^{1}$ を分子に移動させます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 {(3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.2

指数を足して ${(3)}^{\frac{3}{2}}$ に $3^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.2.1

$3^{- 1}$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 (3^{- 1} {(3)}^{\frac{3}{2}})) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.2.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.2

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.3

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.4.2

$5$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4$

ステップ 2.2.2.5

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.2.2.6

$- 4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.8.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 8}{2}$

ステップ 2.2.2.8.2

$9$ から $8$ を引きます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 4), (3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

最小値： $(0, - 4)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例